Question

已知雙曲線＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F(c,0)．
(1)若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；
(2)以原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A，過A作圓的切線，斜率為－，求雙曲線的離心率．

Answer 1

（1）＝1（2）

(1)∵雙曲線的漸近線為y＝±x，∴a＝b，
∴c²＝a²＋b²＝2a²＝4，∴a²＝b²＝2，∴雙曲線方程為＝1.
(2)設點A的坐標為(x₀，y₀)，
∴直線AO的斜率滿足·(－)＝－1，∴x₀＝y₀.①
依題意，圓的方程為x²＋y²＝c²，
將①代入圓的方程得3 ＋＝c²，即y₀＝c，∴x₀＝c，
∴點A的坐標為，代入雙曲線方程得
＝1，即b²c²－a²c²＝a²b²，②
又∵a²＋b²＝c²，∴將b²＝c²－a²代入②式，整理得c⁴－2a²c²＋a⁴＝0，
∴3 ⁴－8 ²＋4＝0，
∴(3e²－2)(e²－2)＝0，∵e＞1，∴e＝，
∴雙曲線的離心率為.