Question

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥ABC，BD∥AE，

且AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F(xiàn)在CD上（不含C, D兩點）

（1）求多面體ABCDE的體積；

（2）若F為CD中點,求證：EF⊥面BCD；

 (3)當(dāng)的值=          時，能使AC ∥平面EFB，并給出證明。

Answer 1

解：(1)設(shè)AB中點為H，則由AC＝AB＝BC＝2，可得CH⊥AB且CH＝．

又BD∥AE，所以BD與AE共面．

又AE⊥面ABC，所以平面ABDE⊥平面ABC．

所以CH⊥平面ABDE，即CH為四棱錐C－ABDE的高．

故四棱錐C－ABDE的體積為V_C－ABDE＝S_ABDE·CH＝[(1＋2)×2×]＝．

(2)取BC中點G，連FG，AG．

因為AE⊥面ABC，BD∥AE，所以BD⊥面ABC．

又AGÌ面ABC，所以BD⊥AG．

又AC＝AB，G是BC的中點，所以AG⊥BC，所以AG平面BCD．

又因為F是CD的中點且BD＝2，所以FG∥BD且FG＝BD＝1，所以FG∥AE．

又AE＝1，所以AE＝FG，所以四邊形AEFG是平行四邊形，

所以EF∥AG，所以EF⊥BCD．

（3）=2（證明過程略）。