Processing math: 100%
3.已知函數(shù)f(x)=(x2-2x)lnx+ax2+2.
(1)當a=-1時,求函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-x-2,
①當函數(shù)g(x)有且只有一個零點時,求a的值;
②在①的條件下,當e-1<x<e時,g(x)≥m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)當a=-1時,函數(shù)f(x)=(x2-2x)lnx+ax2+2=(x2-2x)lnx-x2+2,求出f′(x),則k=f′(1),代入直線方程的點斜式可得切線的方程.
(2)①令g(x)=f(x)-x-2=0,則(x2-2x)•lnx+ax2+2=x+2,即a=1x2lnxx,構(gòu)造函數(shù)h(x)=1x2lnxx,確定h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,可得h(x)max=h(1)=1,即可求a的值;
②當a=1時,g(x)=(x2-2x)•lnx+x2-x,若e-1<x<e,g(x)≥m,只需g(x)min≥m.

解答 解:(1)當a=-1時,函數(shù)f(x)=(x2-2x)lnx+ax2+2=(x2-2x)lnx-x2+2,
∴f′(x)=(2x-2)lnx+(x2-2x)1x-2x,
k=f′(1)=0+(1-2)-2=-3,
f(1)=1,
切線的方程為y-1=-3(x-1),
∴切線的方程為3x+y-4=0;
(2)①令g(x)=f(x)-x-2=0
則(x2-2x)•lnx+ax2+2=x+2,即a=1x2lnxx,
令h(x)=1x2lnxx
則h′(x)=1x2lnxx2
令t(x)=1-x-2lnx,則t′(x)=x22
∵x>0,∴t′(x)<0
∴t(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
又∵t(1)=h′(1)=0,
∴當0<x<1時,h′(x)>0,當x>1時,h′(x)<0,
∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴h(x)max=h(1)=1,
∴當函數(shù)g(x)有且僅有一個零點時a=1;
②當a=1時,g(x)=(x2-2x)•lnx+x2-x,
若e-1<x<e,g(x)≥m,只需g(x)min≥m,
∴g′(x)=(x-1)(3+2lnx),
令g′(x)=0得x=1或x=e32
又∵e-1<x<e,
∴函數(shù)g(x)在(e-1,1)上單調(diào)遞減,在(1,e)上單調(diào)遞增
∴g(x)min=g(1)=0,
∴m≤0.

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.如圖,三棱錐D-ABC中,AB=AC=CD=1,∠BAC=∠ACD=90°,<AB,CD>=60°,則BD的長為( �。�
A.3B.2C.62D.2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.已知二次函數(shù)f(x)圖象的頂點坐標為(1,-1)且圖象經(jīng)過原點.
(1)求f(x)的解析式;
(2)作出函數(shù)|f(x)|的圖象;
(3)根據(jù)圖象分別指出k為何值時,關(guān)于x的方程|f(x)=k|有2個實根?3個實根?4個實根?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

11.在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,b=3,c=4,則△ABC中最大角的余弦值是14

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.3sinx+cosx=( �。�
A.sin(x+π3B.sin(x+π6C.2sin(x+π3D.2sin(x+π6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.若函數(shù)y=ax2+2ax+3的值域為[0,+∞),則a的取值范圍是( �。�
A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,0]∪[3,+∞)D.(-∞,0)∪[3,+∞)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.如圖所示,在三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,M,N分別是AC,AD的中點,BC⊥CD.
(1)求異面直線MN與BC所成的角;
(2)求證:平面ACD⊥平面ABC.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系,相關(guān)部門隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭,得到如表統(tǒng)計數(shù)據(jù)表:
收入x(萬元)8.28.610.011.311.9
支出y(萬元)6.27.58.08.59.8
(1)根據(jù)上表可得回歸直線方程 y=\stackrel{∧}x+a,其中=0.76,a=¯y-¯x,據(jù)此估計,該社區(qū)一戶年收入為15萬元的家庭年支出為多少?
(2)若從這5個家庭中隨機抽選2個家庭進行訪談,求抽到家庭的年收入恰好一個不超過10萬元,另一個超過11萬元的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.不等式3x12x≥0的解集是( �。�
A.{x|34≤x<2}B.{x|13x2}C.{x|x>2或x13}D.{x|x<2}

查看答案和解析>>

同步練習冊答案