分析 (1)當a=-1時,函數(shù)f(x)=(x2-2x)lnx+ax2+2=(x2-2x)lnx-x2+2,求出f′(x),則k=f′(1),代入直線方程的點斜式可得切線的方程.
(2)①令g(x)=f(x)-x-2=0,則(x2-2x)•lnx+ax2+2=x+2,即a=1−(x−2)lnxx,構(gòu)造函數(shù)h(x)=1−(x−2)lnxx,確定h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,可得h(x)max=h(1)=1,即可求a的值;
②當a=1時,g(x)=(x2-2x)•lnx+x2-x,若e-1<x<e,g(x)≥m,只需g(x)min≥m.
解答 解:(1)當a=-1時,函數(shù)f(x)=(x2-2x)lnx+ax2+2=(x2-2x)lnx-x2+2,
∴f′(x)=(2x-2)lnx+(x2-2x)1x-2x,
k=f′(1)=0+(1-2)-2=-3,
f(1)=1,
切線的方程為y-1=-3(x-1),
∴切線的方程為3x+y-4=0;
(2)①令g(x)=f(x)-x-2=0
則(x2-2x)•lnx+ax2+2=x+2,即a=1−(x−2)lnxx,
令h(x)=1−(x−2)lnxx,
則h′(x)=1−x−2lnxx2
令t(x)=1-x-2lnx,則t′(x)=−x−22
∵x>0,∴t′(x)<0
∴t(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),
又∵t(1)=h′(1)=0,
∴當0<x<1時,h′(x)>0,當x>1時,h′(x)<0,
∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴h(x)max=h(1)=1,
∴當函數(shù)g(x)有且僅有一個零點時a=1;
②當a=1時,g(x)=(x2-2x)•lnx+x2-x,
若e-1<x<e,g(x)≥m,只需g(x)min≥m,
∴g′(x)=(x-1)(3+2lnx),
令g′(x)=0得x=1或x=e−32
又∵e-1<x<e,
∴函數(shù)g(x)在(e-1,1)上單調(diào)遞減,在(1,e)上單調(diào)遞增
∴g(x)min=g(1)=0,
∴m≤0.
點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)的單調(diào)性與最值,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | √3 | B. | 2 | C. | √62 | D. | √2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | sin(x+π3) | B. | sin(x+π6) | C. | 2sin(x+π3) | D. | 2sin(x+π6) |
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A. | (3,+∞) | B. | [3,+∞) | C. | (-∞,0]∪[3,+∞) | D. | (-∞,0)∪[3,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
收入x(萬元) | 8.2 | 8.6 | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
支出y(萬元) | 6.2 | 7.5 | 8.0 | 8.5 | 9.8 |
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A. | {x|34≤x<2} | B. | {x|13≤x<2} | C. | {x|x>2或x<13} | D. | {x|x<2} |
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