設橢圓C：
x2
a2
+
y2
2
=1(a＞0)的左右焦點分別為F1、F2，A是橢圓C上的一點，且
AF2
•
F1F2
=0，坐標原點O到直線AF1的距離為
1
3
|OF1|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設Q是橢圓C上的一點，過點Q的直線l交x軸于點F（-1，0），交y軸于點M，若|MQ|=2|QF|，求直線l的斜率．
（1）由題設知F1（-
a2-2
，0），F(xiàn)2（
a2-2
，0），其中a＞
2

由于
AF2
•
F1F2
=0，則有
AF2
⊥
F1F2
，所以點A的坐標為（
a2-2
，±
2
a
）
故AF1所在直線方程為y=±（
x
a
a2-2
+
1
a
），所以坐標原點O到直線AF1的距離為
a2-2
a2-1
，
又|OF1|=
a2-2
，所以
a2-2
a2-1
=|=
1
3
a2-2
，解得：a=2．
∴所求橢圓的方程為
x2
4
+
y2
2
=1．
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設直線斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），故M（0，k）．
設Q（x1，y1），由于Q，F(xiàn)，三點共線，且|MQ|=|2QF|．
根據(jù)題意得（x1，y1-k）=±2（x1+1，y1），解得
x1=-2
y1=-k
或
x1=-
2
3
y1=
k
3

又Q在橢圓C上，故
4
4
+
k2
2
=1或
4
9
4
+
(
k
3
)2
3
=1，
解得k=0，k=±4，綜上，直線的斜率為0或±4
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設拋物線c1：y2=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F1，焦點為F2，以F1、F2為焦點，離心率e=
1
2
的橢圓c2與拋物線c1在x軸上方的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l經(jīng)過橢圓c2的右焦點F2，與拋物線c1交于A1、A2，如果以線段A1A2為直徑作圓，試判斷點P與圓的位置關系，并說明理由；
（3）是否存在實數(shù)m，使得△PF1F2的邊長是連續(xù)的自然數(shù)，若存在，求出這樣的實數(shù)m；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若橢圓
x2
m
+
y2
3
=1的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則m=（　�。�
A．3B．6C．9D．12

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知△ABC的周長是16，A（-3，0），B（3，0），則動點C的軌跡方程是（　�。�
A．
x2
25
+
y2
16
=1		B．
x2
25
+
y2
16
=1(y≠0)
C．
x2
16
+
y2
25
=1		D．
x2
16
+
y2
25
=1(y≠0)

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

點P(2cosα，
3
sinα)（α∈R）與橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1的位置關系是（　�。�
A．點P在橢圓C上
B．點P與橢圓C的位置關系不能確定，與α的取值有關
C．點P在橢圓C內(nèi)
D．點P在橢圓C外

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

已知橢圓過點（3，0）且離心率為
6
3
，則橢圓標準方程為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若△AF1F2為正三角形且周長為6；
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若橢圓C上存在A，B兩點關于直線y=x+m對稱，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若直線l：y=kx+n與橢圓C交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證直線l過定點，并求出定點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點P在橢圓
x2
49
+
y2
24
=1上，F(xiàn)1、F2是橢圓的焦點，且PF1⊥PF2，求
（1）|PF1|•|PF2|
（2）△PF1F2的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個頂點到其左、右兩個焦點F1，F(xiàn)2的距離分別為5和1；點P是橢圓上一點，且在x軸上方，直線PF2的斜率為-
15
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求△F1PF2的面積．

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