Question

【題目】已知△ABC中,B（-1，0）,C（1，0）,AB=6,點P在AB上,且∠BAC=∠PCA．

(1)求點P的軌跡E的方程；

(2)若,過點C的直線與E交于M，N兩點,與直線x=9交于點K,記QM,QN,QK的斜率分別為k1,k2,k3,試探究k1,k2,k3的關系,并證明．

Answer 1

【答案】(1)．(2) k1+k2=2k3證明見解析；

【解析】

(1)利用已知條件判斷P的軌跡為橢圓,轉(zhuǎn)化求解即可．

(2)如圖,設M（x1，y1）,N（x2，y2）,可設直線MN方程為y=k（x-1）,則K（4，3k）,聯(lián)立直線與橢圓方程,通過韋達定理轉(zhuǎn)化求解斜率關系,證明k1+k2=2k3．

解：(1)如圖三角形ACP中,∠BAC=∠PCA,所以PA=PC,

所以PB+PC=PB+PA=AB=6,

所以點P的軌跡是以B,C為焦點,長軸為4的橢圓（不包含實軸的端點），

所以點P的軌跡E的方程為．

(2)k1,k2,k3的關系：k1+k2=2k3．

證明：如圖,設M（x1，y1）,N（x2，y2），

可設直線MN方程為y=k（x-1）,則K（4，3k）,

由可得（9k2+8）x2-18k2x+（9k2-72）=0,

,,

,

,,

因為,

所以：k1+k2=2k3．