如圖,在正方形中,為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,分別將線(xiàn)段十等分,分點(diǎn)分別記為,連接,過(guò)軸的垂線(xiàn)與交于點(diǎn)。

(Ⅰ)求證:點(diǎn)都在同一條拋物線(xiàn)上,并求拋物線(xiàn)的方程;

(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)E交于不同的兩點(diǎn), 若的面積之比為4:1,求直線(xiàn)的方程。

 

【答案】

 (Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)直線(xiàn)的方程為,即

【解析】(Ⅰ)依題意,過(guò)且與x軸垂直的直線(xiàn)方程為

,直線(xiàn)的方程為

設(shè)坐標(biāo)為,由得:,即,

都在同一條拋物線(xiàn)上,且拋物線(xiàn)方程為

(Ⅱ)依題意:直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)的方程為

此時(shí),直線(xiàn)與拋物線(xiàn)恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)

設(shè):,則

,

分別帶入,解得

直線(xiàn)的方程為,即

此題在問(wèn)法上給學(xué)生設(shè)了一個(gè)卡,如果第一問(wèn)直接問(wèn)的軌跡方程,估計(jì)學(xué)生更容易入手一些,不過(guò)對(duì)于知識(shí)要活學(xué)活用(證明它求出不就說(shuō)明問(wèn)題了)。那么第二問(wèn)有關(guān)解析幾何的計(jì)算就要善于轉(zhuǎn)化,且計(jì)算要過(guò)關(guān)。

【考點(diǎn)定位】 本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,化歸與轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想。屬于中等難度。

 

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如圖,在正方形中,的中點(diǎn),為以為圓心、為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn),設(shè)向量,則的最小值為          ;

 

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(1)求證:點(diǎn)都在同一條拋物線(xiàn)上,并求該拋物線(xiàn)的方程;

(2)過(guò)點(diǎn)做直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn),若的面積比為,求直線(xiàn)的方程.

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如圖,在正方形中,的中點(diǎn),為以為圓心、為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn),設(shè)向量,則的最小值為         ;

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