Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=PB=PC=BC=2CD，平面PBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求平面PAD和平面BCP所成二面角（小于90°）的大��；
（Ⅲ）在棱PB上是否存在點M使得CM∥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為∠ABC=90°，所以AB⊥BC

因為平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB?平面ABCD，
所以AB⊥平面PBC

（Ⅱ）解：取BC的中點O，連接PO．
因為PB=PC，所以PO⊥BC．
因為平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，PO?平面PBC，
所以PO⊥平面ABCD

如圖，以O為原點，OB所在的直線為x軸，在平面ABCD內(nèi)過O垂直于BC的直線為y軸，OP所在的直線為z軸建立空間直角坐標系O-xyz．
不妨設BC=2．由直角梯形ABCD中AB=PB=PC=BC=2CD可得P（0，0，），D（-1，1，0），A（1，2，0）．
所以．
設平面PAD的法向量．
因為，所以 
令x=1，則y=-2，z=-．
所以

取平面BCP的一個法向量，所以cos=-．
所以平面ADP和平面BCP所成的二面角（小于90°）的大小為

（Ⅲ）解：在棱PB上存在點M使得CM∥平面PAD，此時．理由如下

取AB的中點N，連接CM，CN，MN，則MN∥PA，AN=AB．
因為AB=2CD，所以AN=CD．
因為AB∥CD，所以四邊形ANCD是平行四邊形．
所以CN∥AD．
因為MN∩CN=N，PA∩AD=A，
所以平面MNC∥平面PAD

因為CM?平面MNC，所以CM∥平面PAD

分析：（Ⅰ）證明AB⊥平面PBC，利用面面垂直的性質(zhì)，根據(jù)AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，即可得證；
（Ⅱ）取BC的中點O，連接PO，證明PO⊥平面ABCD，以O為原點，OB所在的直線為x軸，在平面ABCD內(nèi)過O垂直于BC的直線為y軸，OP所在的直線為z軸建立空間直角坐標系O-xyz，求出平面PAD的法向量，平面BCP的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求得平面ADP和平面BCP所成的二面角；
（Ⅲ）在棱PB上存在點M使得CM∥平面PAD，此時，證明平面MNC∥平面PAD，可得∥平面PAD．
點評：本題考查線面垂直、線面平行，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定方法，利用空間向量求解面面角．