Question

已知{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₂=2，S₃=7．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n+1+1（n∈N^*），求數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由an=2n-1，b_n=log₂a_n+1+1推導(dǎo)出b_n=n，從而得到

1

bnbn+1

=

1

n

-

1

n+1

，由此能求出利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，且a₂=2，S₃=7，
∴

a1q=2 a1+2+a1q2=7

，且q＞1，
解得

a1=1 q=2

，或

a1=4 q= 1 2

，（舍）．
∴an=2n-1．
（Ⅱ）∵an=2n-1，
∴b_n=log₂a_n+1+1=log22n-1+1=n，
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴T_n=（1-

1

2

）=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．