Question

【題目】已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，對(duì)于任意復(fù)數(shù)，有，．

（1）求的值；

（2）若復(fù)數(shù)滿足，求的取值范圍；

（3）我們把上述關(guān)系式看作復(fù)平面上表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)和表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)之間的一個(gè)變換，問是否存在一條直線，若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)仍然在直線上？如果存在，求出直線的方程，否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）存在，直線方程，理由見解析

【解析】

（1）利用復(fù)數(shù)的模的性質(zhì)即可得解；

（2）利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解；

（3）設(shè)，，由，得，① 設(shè)存在直線，則直線一定過原點(diǎn)，故設(shè)直線的方程為，② ，聯(lián)立化簡(jiǎn)即可得解.

（1）因?yàn)?/span>，所以，

故，所以，

又，

故；

（2）由，得復(fù)數(shù)的軌跡是點(diǎn)，的中垂線，

又,

所以，

即，

故的取值范圍為；

（3）設(shè)，，

由，得，①

設(shè)存在直線滿足題意，則直線一定過原點(diǎn)，故設(shè)直線的方程為，②

由題意知：把①代入②可得，③

把②代入③可得，解得，

故存在直線，其方程為.