Question

【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為點(diǎn)，右焦點(diǎn)為.延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，且滿足.

（1）試求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)作與軸不重合的直線和橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為點(diǎn)，且直線分別與直線交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，則與之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，試說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 與之積為定值，且該定值是

【解析】試題分析:(1)，可得,將坐標(biāo)代入求出點(diǎn)E,代入橢圓方程,結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可得橢圓方程;(2) 設(shè)，,設(shè)出直線AB的方程,與橢圓方程聯(lián)立,消去y得到關(guān)于x的一元二次方程并寫出韋達(dá)定理,根據(jù)三點(diǎn)共線得出M,N的坐標(biāo),求出與之積得出定值.

試題解析:

（1）橢圓的上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∵，可得，

又，，

∴代入可得，

又，解得，，

即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)，，，，.

由題意可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立消去，

得，

∴

根據(jù)三點(diǎn)共線，可得，

∴.

同理可得，

∴的坐標(biāo)分別為，，

∴

.

∴與之積為定值，且該定值是.

點(diǎn)睛: 本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長(zhǎng)問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．