Question

已知等差數(shù)列的首項為a，公差為b，等比數(shù)列的首項為b，公比為a，其中a，b都是大于1的正整數(shù)，且．

（1）求a的值；

    （2）若對于任意的，總存在，使得成立，求b的值；

    （3）令，問數(shù)列中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知，得．由，得．

因a，b都為大于1的正整數(shù)，故a≥2．又，故b≥3．  再由，得   ．

由，故，即．

由b≥3，故，解得．   

于是，根據(jù)，可得．

（2）由，對于任意的，均存在，使得，則

．

又，由數(shù)的整除性，得b是5的約數(shù)．

故，b=5．

所以b=5時，存在正自然數(shù)滿足題意．

（3）設(shè)數(shù)列中，成等比數(shù)列，由，，得

．

化簡，得．     （※）   當(dāng)時，時，等式（※）成立，而，不成立．  

當(dāng)時，時，等式（※）成立．

當(dāng)時，，這與b≥3矛盾．

這時等式（※）不成立．

綜上所述，當(dāng)時，不存在連續(xù)三項成等比數(shù)列；當(dāng)時，數(shù)列中的第二、三、四項成等比數(shù)列，這三項依次是18，30，50．