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圓x2+y2=4的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當該三角形面積最小時,切點為P(如圖),雙曲線C1
x2
a2
-
y2
b2
=1過點P且離心率為
3

(Ⅰ)求C1的方程;
(Ⅱ)若橢圓C2過點P且與C1有相同的焦點,直線l過C2的右焦點且與C2交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓過點P,求l的方程.
考點:直線與圓錐曲線的關系,雙曲線的標準方程
專題:圓錐曲線的定義、性質與方程
分析:(Ⅰ)設切點P(x0,y0),(x0>0,y0>0),利用相互垂直的直線斜率之間的關系可得切線的斜率和切線的方程,即可得出三角形的面積,利用基本不等式的性質可得點P的坐標,再利用雙曲線的標準方程及其性質即可得出;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得橢圓C2的焦點.可設橢圓C2的方程為
x2
3+
b
2
1
+
y2
b
2
1
=1
(b1>0).把P的坐標代入即可得出方程.由題意可設直線l的方程為x=my+
3
,
A(x1,y1),B(x2,y2),與橢圓的方程聯(lián)立即可得出根與系數的關系,再利用向量垂直與數量積的關系即可得出.
解答: 解:(Ⅰ)設切點P(x0,y0),(x0>0,y0>0),則切線的斜率為-
x0
y0
,
可得切線的方程為y-y0=-
x0
y0
(x-x0)
,化為x0x+y0y=4.
令x=0,可得y=
4
y0
;令y=0,可得x=
4
x0

∴切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形的面積S=
1
2
4
y0
4
x0
=
8
x0y0

∵4=
x
2
0
+
y
2
0
≥2x0y0
,當且僅當x0=y0=
2
時取等號.
S≥
8
2
=4
.此時P(
2
2
)

由題意可得
2
a2
-
2
b2
=1
,e=
c
a
=
1+
b2
a2
=
3
,解得a2=1,b2=2.
故雙曲線C1的方程為x2-
y2
2
=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知雙曲線C1的焦點(±
3
,0),即為橢圓C2的焦點.
可設橢圓C2的方程為
x2
3+
b
2
1
+
y2
b
2
1
=1
(b1>0).
把P(
2
,
2
)
代入可得
2
3+
b
2
1
+
2
b
2
1
=1
,解得
b
2
1
=3,
因此橢圓C2的方程為
x2
6
+
y2
3
=1

由題意可設直線l的方程為x=my+
3
,A(x1,y1),B(x2,y2),
聯(lián)立
x=my+
3
x2+2y2=6
,化為(m2+2)y2+2
3
my-3=0
,
y1+y2=-
2
3
m
2+m2
,y1y2=
-3
2+m2

∴x1+x2=m(y1+y2)+2
3
=
4
3
m2+2
,
x1x2=m2y1y2+
3
m(y1+y2)+3
=
6-6m2
m2+2

AP
=(
2
-x1,
2
-y1)
BP
=(
2
-x2,
2
-y2)

AP
BP
,∴
AP
BP
=0
,
x1x2-
2
(x1+x2)
+y1y2-
2
(y1+y2)+4=0
,
2m2-2
6
m+4
6
-11=0
,解得m=
3
6
2
-1
或m=-(
6
2
-1)
,
因此直線l的方程為:x-(
3
6
2
-1)y-
3
=0
x+(
6
2
-1)y-
3
=0
點評:本題綜合考查了圓錐曲線的標準方程及其性質、相互垂直的直線斜率之間的關系、向量垂直與數量積的關系、切線的斜率和切線的方程、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數的關系等基礎知識與基本技能方法,考查了推理能力和計算能力,考查了轉化和化歸能力,考查了解決問題的能力,屬于難題.
練習冊系列答案
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已知橢圓的中心為坐標原點O,焦點在x軸上,斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點,
OA
+
OB
a
=(2,-1)共線.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設M為橢圓上任意一點,且
OM
OA
OB
(λ,μ∈R),證明λ22-
2
3
λμ為定值.

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網絡公司為了解某地區(qū)人群上網情況,隨機抽取了100名網民進行調查,其中女性有55名.下面是根據調查結果繪制的日均上網時間的頻率分布圖(時間單位為:時):
分組 [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6)
頻率  0.1 0.18  0.22   0.25 0.2   0.05
將日均上網時間不低于4小時的網民成為“網迷”,已知“網迷”中有10名女性.
(Ⅰ)根據已知條件完成下面2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認為“網迷”與性別有關?
  非網迷 網迷 合計
     
     
合計      
(Ⅱ)將日均上網時間不低于5小時的網民成為“超級網迷”,已知超級網迷中有2名女性,若從“超級網迷”中任意選取2人,求至少有1名女性網民的概率.
附:K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2≥k0)  0.100 0.050  0.010   0.001
 k0  2.706 3.841  6.635  10.828 

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如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛,在A處分別測得山頂上鐵塔的塔頂E的仰角為θ和山腳點O(點O是點E在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ,再行駛akm到達B處,測得山腳點O的方位角是西偏北β.請設計一個方案,用測量的數據和有關公式寫出計算OE的步驟.

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(ii)若直線l3亦與曲線y=f(x)相切,且三條不同的直線l1,l2,l3交于點G(m,4),求實數m的取值范圍;
(2)若直線l1∥l2,直線l1與曲線y=f(x)切于點B且交曲線y=f(x)于點D,直線l2和與曲線y=f(x)切于點C且交曲線y=f(x)于點A,記點A,B,C,D的橫坐標分別為xA,xB,xC,xD,求(xA-xB):(xB-xC):(xC-xD)的值.

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