Question

已知8個(gè)非零實(shí)數(shù)a₁，a₂，a₃，…，a₈，向量

OA1

=(a1，a2)，

OA2

=（a₃，a₄），

OA3

=（a₅，a₆），

OA4

=
（a₇，a₈），對(duì)于下列命題：
①若a₁，a₂，a₃，…，a₈為等差數(shù)列，則存在i，j（1≤i＜j≤8，i，j∈N^*），使

OA1

+

OA2

+

OA3

+

OA4

與向量

n

=(ai，aj)共線；
②若a₁，a₂，a₃，…，a₈成等比數(shù)列，則對(duì)任意i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），都有

OAi

∥

OAj

；
③若a₁，a₂，a₃，…，a₈成等比數(shù)列，則存在i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），使

OAi

•

OAj

＜0；
④若

m

=

OAi

•

OAj

（i≠j，1≤i，j≤4，i，j∈N^*），則

m

的值中至少有一個(gè)不小于0，
上述命題正確的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用

分析：運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)和向量共線的坐標(biāo)表示，即可判斷①；
運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和向量共線的坐標(biāo)表示，即可判斷②；
運(yùn)用的表示等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可判斷③；
運(yùn)用反證法和兩數(shù)和為負(fù)，則其中至少由一個(gè)負(fù)數(shù)，即可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，若a₁，a₂，a₃，…，a₈為等差數(shù)列，則由

OA1

+

OA2

+

OA3

+

OA4

與向量

n

=(ai，aj)共線，
則（a₁+a₃+a₅+a₇）a_j=（a₂+a₄+a₆+a₈）a_i，化簡(jiǎn)得a₄a_j=a₅a_i，則i=4，j=5，則①正確；
對(duì)于②，若a₁，a₂，a₃，…，a₈成等比數(shù)列，則對(duì)任意i，j（1≤i，j≤4，i，j∈N^*），
若i=j顯然成立，若i≠j，則設(shè)

OAi

=（a_i，a_i+1），

OAj

=（a_j，a_j+1），則a_ia_j+1=a_ja_i+1，
則

OAi

∥

OAj

，則②正確；
對(duì)于③，若a₁，a₂，a₃，…，a₈成等比數(shù)列，則a₁a₃=a₂²，a₃a₅=a₄²，…，a₅a₇=a₆²，a₂a₄=a₃²，
a₄a₆=a₅²，…，a₆a₈=a₇²，均為正數(shù)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示，則

OAi

•

OAj

＞0，則③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，假設(shè)m的值都小于0，則a₁a₃+a₂a₄＜0，a₃a₅+a₄a₆＜0，…，a₅a₇+a₆a₈＜0，
則可設(shè)a₂a₄＜0，a₄a₆＜0，…，則得a₂a₆＞0，a₁a₅＞0，可得a₂a₆+a₁a₅＞0，這與假設(shè)矛盾，則④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積和共線的坐標(biāo)表示，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，考查反證法的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．