Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為正三角形且邊長為

3

a，側棱AA₁=2a，點A在下底面的射影是△A₁B₁C₁的中心O．
（Ⅰ）求證：AA₁⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求異面直線AO與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得B₁C₁⊥A₁O，AO⊥B₁C₁，從而B₁C₁⊥面AA₁O，由此能證明B₁C₁⊥AA₁．
（Ⅱ）連結A₁O并延長，交B₁C₁于點E，取BC的中點F，連結EF，交B₁C于M，則∠B₁MB為異面直線AO與B₁C所成的角，由此能求出異面直線AO與B₁C所成角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵O為正△A₁B₁C₁的中心，
∴B₁C₁⊥A₁O
∵AO⊥底面A₁B₁C₁，
∴AO⊥B₁C₁，又B₁C₁⊥A₁O，
∴B₁C₁⊥面AA₁O，
∴B₁C₁⊥AA₁．

（Ⅱ）解：連結A₁O并延長交B₁C₁于點E，
A₁B₁=

3

a，B1E=

3

2

a，OA1=

2

3

×

3

2

×

3

a=a，
在Rt△AOA₁中，OA₁=a，AA₁=2a，則AO=

3

a，
取BC的中點F，連結EF，交B₁C于M，則NE=

1

2

AO=

3

2

a，
∴∠B₁MB為異面直線AO與B₁C所成的角，
∵AA₁⊥B₁C₁，AA₁∥FE，∴ME⊥B₁C₁，
在Rt△MEB中，
B1M=

a2+( 3 2 a)2

=

7

2

a，
在△MHE中，EH=

1

2

A1 O=

a

2

，B1E=

3

2

a，
∴B₁H=

( a 2 )2+( 3 2 a)2

=a．
在△MHB₁中，cos∠B₁MH=

MH2+MB12-HB12

2MH•MB1

=

( 3 2 )2+( 7 2 )2-12

2• 3 2 • 7 2

=

21

7

，
∴異面直線AO與B₁C所成角的余弦值為

21

7

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成角的求法，解題時要認真審題，注意線線、線面、面面空間位置關系與性質的合理運用．