Question

圖為一簡單集合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（1）畫出該幾何體的三視圖；
（2）求四棱錐B-CEPD的體積；
（3）求證：BE∥平面PDA．

Answer 1

分析：（1）由已知中底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．根據(jù)三視圖的定義，易得到該幾何體的三視圖；
（2）由已知中PD⊥平面ABCD，且PD=AD=2EC=2，我們計算出棱錐的底面面積和高，代入棱體積公式，即可求出四棱錐B-CEPD的體積；
（3）由已知中EC∥PD，我們可證得EC∥平面PDA，同理可證BC∥平面PDA，即平面BCE∥平面PDA，再結(jié)合面面平行的性質(zhì)即可得到BE∥平面PDA．

解答：解：（1）該組合體的主視圖和側(cè)視圖如圖示：（3分）
（2）∵PD平面ABCD，PD?平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵BC⊥CD
∴BC⊥平面PDCE（5分）
∵S_PCDE=

1

2

（PD+EC）•DC=3（6分）
∴四棱錐B-CEPD的體積
V=

1

3

•S_PCDE•BC=2．（8分）
證明：（3）∵EC∥PD，PD?平面PDA，
EC?平面PDA
∴EC∥平面PDA，（10分）
同理可得BC∥平面PDA（11分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩C=C
∴平面BEC∥平面PDA（13分）
又∵BE?平面EBC
∴BE∥平面PDA（14分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，簡單空間圖形的三視圖，棱錐的體積，熟練掌握空間幾何圖形的幾何特征，三視圖的定義及畫法，棱錐的體積公式及線面平行與面現(xiàn)平行的相互轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵．