Question

已知拋物線C₁：y²=8x與雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）有公共焦點F₂，點A是曲線C₁，C₂在第一象限的交點，且|AF₂|=5．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）以雙曲線C₂的另一焦點F₁為圓心的圓M與直線y=

3

x相切，圓N：（x-2）²+y²=1．過點P（1，

3

）作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l₁和l₂，設l₁被圓M截得的弦長為s，l₂被圓N截得的弦長為t，問：

s

t

是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導出雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），且|AF₂|=5，|AF₁|=7，點A在雙曲線C₂上，由此能求出雙曲線C₂的方程．
（2）

s

t

為定值．由已知條件求出設圓M的方程為M：（x+2）²+y²=3，設l₁的方程為kx-y+

3

-k=0，設l₂的方程為x+ky-

3

k-1=0，由此利用點到直線的距離公式和弦長公式能求出證明

S

t

為定值

3

．

解答： 解：（1）∵拋物線C1：y2=8x的焦點為F₂（2，0），
∴雙曲線C₂的焦點為F₁（-2，0）、F₂（2，0），…（1分）
設A（x₀，y₀）在拋物線C1：y2=8x上，且|AF₂|=5，
由拋物線的定義得，x₀+2=5，
∴x₀=3，∴y02=8×3=24，∴y0=2

6

，…（3分）
∴|AF₁|=

(3+2)2+(±2 6 )2

=7，…（4分）
又∵點A在雙曲線C₂上，由雙曲線定義得：
2a=|7-5|=2，∴a=1，∴雙曲線C₂的方程為：x2-

y2

3

=1．    …（6分）
（2）

s

t

為定值．下面給出說明．
設圓M的方程為：（x+1）²+y²=r²，
∵圓M與直線y=

3

x相切，
∴圓M的半徑為r=

2 3

1+( 3 )2

=

3

，
∴圓M：（x+2）²+y²=3．   …（7分）
當直線j₁的斜率不存在時不符合題意，…（8分）
設l₁的方程為y-

3

=k（x-1），即kx-y+

3

-k=0，
設l₂的方程為y-

3

=-

1

k

（x-1），即x+ky-

3

k-1=0，
∴點F₁到直線l₁的距離為d1=

|3k- 3 |

1+k2

，
點F₂到直線l₂的距離為d2=

| 3 k-1|

1+k2

，…（10分）
∴直線l₁被圓M截得的弦長：
S=2

3-( 3k- 3 1+k2 )2

=2

6 3 k-6k2 1+k2

，…（11分）
直線l₂被圓N截得的弦長t=2

1-( 3 k-1 1+k2 )2

=2

2 3 k-2k2 1+k2

，…（12分）
∴

S

t

=

6 3 k-6k2 2 3 k-2k2

=

6( 3 k-k2) 2( 3 k-k2)

=

3

，
∴

S

t

為定值

3

．…（13分）

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查兩數(shù)的比值為定值的判斷與證明，解題時要注意點到直線的距離公式和弦長公式的合理運用．