Question

在面積為1的△PMN中，tan∠PMN=

1

2

，tan∠MNP=-2．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M，N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程．

Answer 1

分析：以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)以M，N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)tanM=

1

2

，tanα=tg（π-∠MNP）=2，得直線PM和PN的直線方程，將此二方程聯(lián)立解得x和y，可知點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)，|MN|=2c，MN上的高為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式表示出出△MNP的面積求得c，則點(diǎn)P的坐標(biāo)可得．由兩點(diǎn)間的距離公式求得|PM|和|PN|，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義求得a，進(jìn)而求得b，則橢圓方程可得．

解答：解：如圖，以MN所在直線為x軸，MN的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)以M，N為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，
焦點(diǎn)為M（-c，0），N（c，0）．
由tan∠MNP=

1

2

，tan∠MNP=-2，tanα=tan（π-∠MNP）=2，
得直線PM和直線PN的方程分別為y=

1

2

（x+c）和y=2（x-c）．
將此二方程聯(lián)立，解得x=

5

3

c，y=

4

3

c，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

3

c，

4

3

c）．
在△MNP中，|MN|=2c，MN上的高為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，故S△MNP=

1

2

•2c•

4

3

c=

4

3

c2．
由題設(shè)條件S_△MNP=1，∴c=

3

2

，即P點(diǎn)坐標(biāo)為(

5 3

6

，  

2 3

3

)．
由兩點(diǎn)間的距離公式|PM|=

(x+c)2+y2

=

( 5 3 6 + 3 2 )2+( 2 3 3 )2

=

2 15

3

，|PN|=

(x-c)2+y2

=

( 5 3 6 - 3 2 )2+( 2 3 3 )2

=

15

3

．
得a=

1

2

(|PM|+|PN|)=

15

2

．
又b²=a²-c²=

15

4

-

3

4

=3，
故所求橢圓方程為

4x2

15

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查坐標(biāo)系、橢圓的概念和性質(zhì)、直線方程以及綜合應(yīng)用能力．