Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-cosωx+m（ω＞0，x∈R，m是常數(shù)）的圖象上的一個最高點$（\frac{π}{3}，1）$，且與點$（\frac{π}{3}，1）$最近的一個最低點是$（-\frac{π}{6}，-3）$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}$ac，求函數(shù)f（A）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡即可得出$f（x）=2sin（ωx-\frac{π}{6}）+m$，根據(jù)相鄰的最高點和最低點分別為$（\frac{π}{3}，1），（-\frac{π}{6}，-3）$便可求出f（x）的周期，進而求出ω=2，并得出m=-1，從而求出f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，從而可求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)量積的計算公式便可求出cosB=$\frac{1}{2}$，從而得出B的值，進而得出A+C=$\frac{2π}{3}$，從而有$0＜A＜\frac{2π}{3}$，這樣即可求出f（A）的值域．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\sqrt{3}sinωx-cosωx+m$=$2sin（ωx-\frac{π}{6}）+m$；
∵點$（\frac{π}{3}，1）$，點$（-\frac{π}{6}，-3）$分別是函數(shù)f（x）圖象上相鄰的最高點和最低點；
∴$\frac{T}{2}=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{3}-（-\frac{π}{6}）=\frac{π}{2}$，且$m=\frac{1+（-3）}{2}$；
∴ω=2，m=-1；
∴$f（x）=2sin（2x-\frac{π}{6}）-1$；
∴令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，解得$-\frac{π}{6}+kπ≤x≤kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ]，k∈Z$；
（Ⅱ）∵在△ABC中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}ac$；
∴$accos（π-B）=-\frac{1}{2}ac$；
∴$cosB=\frac{1}{2}$；
∵0＜B＜π，∴$B=\frac{π}{3}$；
∴$A+C=\frac{2π}{3}$；
∴$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴$0＜2A＜\frac{4π}{3}$，$-\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$；
∴$-\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$；
∵$f（A）=2sin（2A-\frac{π}{6}）-1$，
∴-2＜f（A）≤1；
∴f（A）的值域為（-2，1]．

點評 考查兩角差的正弦公式，三角函數(shù)周期的計算公式，三角函數(shù)的圖象，三角函數(shù)圖象的變換，熟悉正弦函數(shù)圖象，以及數(shù)量積的計算公式，不等式的性質(zhì)．