Question

已知=（cos，sin），=（sin，-sin），f（x）=•+．
（1）求f（x）的遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，f（A）=1，AB=2，BC=3．求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的增區(qū)間列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的增區(qū)間；
（2）由f（A）=1及第一問確定的f（x）解析式，A為三角形的內(nèi)角，得到A的度數(shù)，再由AB，BC及cosA的值，利用余弦定理求出AC的長，再由AC，AB及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：解：（1）∵=（cos，sin），=（sin，-sin），
∴f（x）=•+=cossin-sin²+
=sinx-（1-cosx）+=sinx+cosx=sin（x+），
令2kπ-≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ-≤x≤2kπ+，k∈Z，
則f（x）的增區(qū)間為[2kπ-，2kπ+]，k∈Z；
（2）由f（A）=sin（A+）=1，且A為三角形的內(nèi)角，得到A=，
∵AB=2，BC=3，cosA=，
∴由余弦定理BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cosA得：9=AC²+4-2AC，
整理得：AC²-2AC-5=0，
解得：AC=+2或AC=-2（舍去），
則S_△ABC=AC•AB•sinA=×（+2）×2×=+．
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．