Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂，|F₁F₂|=14，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=

2

3

π，若△F₁PF₂的面積S=13

3

，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），|PF₁|=m，|PF₂|=n，由已知知mn=52，m²+n²-2mncos120°=14²，由此求出橢圓方程為

x2

62

+

y2

13

=1．同理，設(shè)橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1，（a＞b＞0），解得橢圓方程為

x2

13

+

y2

62

=1．

解答： 解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
|PF₁|=m，|PF₂|=n，
∵S△PF1F2=13

3

，∴

1

2

mnsin120°=13

3

，
解得mn=52，①
△PF₁F₂中，|F₁F₂|=14，
∴m²+n²-2mncos120°=14²，②
由①②，得（m+n）²=m²+n²+2mn=14²+52=248，
∴4a²=248，解得a²=62，
又c²=49，∴b²=a²-c²=13，
∴橢圓方程為

x2

62

+

y2

13

=1．
同理，設(shè)橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1，（a＞b＞0），
解得橢圓方程為

x2

13

+

y2

62

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．