解答：解：（1）（法一）
⇒qa
n-a
n=d⇒（q-1）a
n=d
當(dāng)q=1時，∵a
n≠0，所以d=0；
當(dāng)q≠1時，
⇒an=是一常數(shù)，矛盾，所以{a
n}為非零常數(shù)列； （5分）
（法二）設(shè)a
n=a
1+（n-1）d，則有：
==q，
即a
1+nd=（a
1q-qd）+qdn（2分）
所以
，解得
．由此可知數(shù)列{a
n}為非零常數(shù)列； （5分）
（2）記a
n2=b
n，由（1）證明的結(jié)論知：{a
n2}為非零常數(shù)列．（2分）
顯然，{a
n2}為非零常數(shù)列時，{a
n}不一定為非零常數(shù)列，如：非常數(shù)數(shù)列a
n=（-p）
n（p為大于0的正常數(shù)）和常數(shù)列a
n=p（p為非零常數(shù)）均滿足題意要求．（5分）
（3）若{a
n}滿足a
n+1m-a
nm=d'（常數(shù)）且
=q′（常數(shù)），則當(dāng)m為奇數(shù)時，{a
n}必為非零常數(shù)列；當(dāng)m為偶數(shù)時，{a
n}不一定為非零常數(shù)列．
或者：設(shè)a
nm=a
1m+（n-1）d，即a
nm=A+Bn，則
=()m=q′，即
(1+)m對一切n∈N
*均為常數(shù)，則必有B=0，即有a
nm=A，當(dāng)m為奇數(shù)時，
an=，當(dāng)m為偶數(shù)時，
an=(A＞0)或者
an= i (A＜0).3°{a
n}滿足a
n+1m-a
nm=d'（常數(shù)）且
=q′（常數(shù)），且m、l為整數(shù)，
當(dāng)m、l均為奇數(shù)時，{a
n}必為非零常數(shù)列；否則{a
n}不一定為常數(shù)列．
事實上，條件
=q′（正常數(shù)）可以轉(zhuǎn)化為
=(q′)（常數(shù)），整個問題轉(zhuǎn)化為2°，結(jié)論顯然成立．（結(jié)論5分）
或者：設(shè)a
nm=a
1m+（n-1）d，即a
nm=A+Bn，當(dāng)m為奇數(shù)時，有
an=，則
=()=q′，即
(1+)對一切n∈N
*均為常數(shù)，則必有B=0，即有a
nm=A，則
an=，當(dāng)m為偶數(shù)時，如反例：a
n=（-1）
nn∈N
*，它既滿足m次方后是等差數(shù)列，又是l（不管l為奇數(shù)還是偶數(shù)）次方后成等比數(shù)列，但它不為常數(shù)列.4°{a
n}滿足a
n+1m-a
nm=d'（常數(shù)）且
=q′（常數(shù)），m、l為有理數(shù)，q′＞0，則{a
n}必為非零常數(shù)列；否則{a
n}不一定為常數(shù)列．
證明過程同3°（結(jié)論6分）5°{a
n}滿足a
n+1m-a
nm=d'（常數(shù)）且
=q′（常數(shù)），且m、l為實數(shù)，q′＞0，{a
n}是不等于1的正數(shù)數(shù)列，則{a
n}必為非零且不等于1的常數(shù)列；否則{a
n}不一定為常數(shù)列．
事實上，當(dāng)q′＞0，m、l為實數(shù)時，條件
=q′同樣可以轉(zhuǎn)化為
=(q′)，記a
nm=b
n，由第（1）題的結(jié)論知：{b
n}必為不等于1的正常數(shù)數(shù)列，也即{a
nm}為不等于1的正常數(shù)數(shù)列，
an=，從而{a
n}也是不等于1的正常數(shù)數(shù)列．
（結(jié)論7分）
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