Question

已知整數(shù)n≥3，集合M={1，2，3，…，n}的所有含有3個元素的子集記為A₁，A₂，A₃，…，A 

C

3 n

，設(shè)A₁，A₂，A₃，…，A 

C

3 n

中所有元素之和為S_n．
（Ⅰ）求S₃，S₄，S₅，并求出S_n；
（Ⅱ）證明：S₃+S₄+S…+S_n=6C_n+2⁵．

Answer 1

考點：組合及組合數(shù)公式,子集與真子集

專題：計算題,集合,二項式定理

分析：（Ⅰ）當=3時，集合M中只有一個符合條件的子集，故S₃=1+2+3=6，仿照求當n=4時，當n=5時，當集合M有n個元素時，每個元素出現(xiàn)

C

2 n-1

次，從而求得S_n=

C

2 n-1

n(n+1)

2

；
（Ⅱ）化簡S_n=

C

2 n-1

n(n+1)

2

=6

C

4 n+1

，從而得到S₃+S₄+S…+S_n=6（

C

4 4

+

C

4 5

+…+

C

4 n+1

）=6C_n+2⁵．

解答： 解：（Ⅰ）當=3時，集合M中只有一個符合條件的子集，
故S₃=1+2+3=6，
當n=4時，集合M每個元素出現(xiàn)了

C

1 3

=3次，
故S₄=3（1+2+3+4）=30，
當n=5時，集合M每個元素出現(xiàn)了

C

2 4

=6次，
故S₅=6（1+2+3+4+5）=90；
當集合M有n個元素時，每個元素出現(xiàn)

C

2 n-1

次，
故S_n=

C

2 n-1

n(n+1)

2

；
（Ⅱ）證明：∵S_n=

C

2 n-1

n(n+1)

2

=6

C

4 n+1

，
∴S₃+S₄+S…+S_n=6（

C

4 4

+

C

4 5

+…+

C

4 n+1

）=6C_n+2⁵．

點評：本題考查了集合的子集的定義及排列組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．