Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，焦點在軸上的鞘園C:經過點，且經過點作斜率為的直線交橢圓C與A、B兩點(A在軸下方).

(1)求橢圓C的方程；

(2)過點且平行于的直線交橢圓于點M、N，求的值；

(3)記直線與軸的交點為P，若，求直線的斜率的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由題意得e2，．又a2＝b2+c2，，解得b2；

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）．設直線l的方程為y＝k（x﹣1）．

聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，可設直線MN方程為y＝kx，聯(lián)立直線MN與橢圓方程，消去y得（2k2+1）x2＝8，由MN∥l，得由（1﹣x1）（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．得（xM﹣xN）2＝4x2即可；

（3）在y＝k（x﹣1）中，令x＝0，則y＝﹣k，所以P（0，﹣k），從而 ，由得

即 ①，由（2）知②，由①②得50k4﹣83k2﹣34＝0，解得k2.

（1）因為橢圓C：1經過點所以．

又∵a2＝b2+c2，，解得b2＝4或b2＝8（舍去）．

所以橢圓C的方程為．

（2）設A（x1，y1），B（x2，y2）．

因為T（1，0），則直線l的方程為y＝k（x﹣1）．

聯(lián)立直線l與橢圓方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8＝0，

所以x1+x2，x1x2．

因為MN∥l，所以直線MN方程為y＝kx，

聯(lián)立直線MN與橢圓方程

消去y得（2k2+1）x2＝8，

解得x2

因為MN∥l，所以

因為（1﹣x1）（x2﹣1）＝﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]．

（xM﹣xN）2＝4x2．

所以．

（3）在y＝k（x﹣1）中，令x＝0，則y＝﹣k，所以P（0，﹣k），

從而 ，

∵，①

由（2）知②

由①②得

代入x1x250k4﹣83k2﹣34＝0，解得k2＝2或k2（舍）．

又因為k＞0，所以k．