Question

已知點列P_n（a_n，b_n）在直線l：y=2x+1上，P₁為直線l與y軸的交點，等差數列{a_n}的公差為1，（n∈N⁺）
（1）求數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）設C_n=

1

n|P1Pn|

（n≥2），求C₁+C₂+…+C_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列的應用

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知得b_n=2a_n+1，從而數列{a_n}的公差為1，由此求出a_n=n-1，b_n=2n-1．（n∈N^*）
（Ⅱ）由已知得|p₁p_n|=

an2+(bn-1)2

=

5

(n-1)，C_n=

1

n|P1Pn|

=

1

5

(

1

n-1

-

1

n

)，由此能求出C₁+C₂+…+C_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵點列P_n（a_n，b_n）在直線l：y=2x+1上，
∴b_n=2a_n+1，
∵P₁為直線l與y軸的交點，
∴P₁（0，1），∴a₁=0，
又數列{a_n}的公差為1，
∴a_n=n-1，（n∈N^*），
∴b_n=2n-1．（n∈N^*）
（Ⅱ）∵p₁（0，1），p_n（a_n，b_n），
∴|p₁p_n|=

an2+(bn-1)2

=

(n-1)2+(2n-2)2

=

5

(n-1)，
∴C_n=

1

n|P1Pn|

=

1

5

(

1

n-1

-

1

n

)，
∴C₁+C₂+…+C_n
=

1

5

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

)
=

1

5

(1-

1

n

)．

點評：本題考查數列的通面公式的求法，考查數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．