Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=

2×( 2 3 )n-5，n為偶數(shù) 4n-6，n為奇數(shù)

，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可知，數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以-2為首項(xiàng)，以8為公差的等差數(shù)列，所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以

27

4

為首項(xiàng)，以為

4

9

公比的等比數(shù)列，然后分別取n為奇數(shù)和偶數(shù)并求出對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，根據(jù)等差、等比數(shù)列的求和公式求得{a_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：由a_n=

2×( 2 3 )n-5，n為偶數(shù) 4n-6，n為奇數(shù)

得，
可知數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以-2為首項(xiàng)，以8為公差的等差數(shù)列，
所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以為

27

4

首項(xiàng)，以為

4

9

公比的等比數(shù)列．
當(dāng)n為奇數(shù)時，其中有

n-1

2

項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)，有

n+1

2

項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，
所以S_n=

n+1

2

×(-2)+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×8+

27 4 [1-( 4 9 ) n-1 2 ]

1- 4 9

=(n+1)(n-2)+

243

20

[1-(

2

3

)n-1]，
當(dāng)n為偶數(shù)時，其中有

n

2

項(xiàng)為偶數(shù)項(xiàng)，有

n

2

項(xiàng)為奇數(shù)項(xiàng)，
S_n=

n

2

×(-2)+

n 2 ( n 2 -1)

2

×8+

27 4 [1-( 4 9 ) n 2 ]

1- 4 9

=n(n-2)+

243

20

[1-(

2

3

)n]，
綜上得，S_n=

(n+1)(n-2)+ 243 20 [1-( 2 3 )n-1]，n為奇數(shù) n(n-2)+ 243 20 [1-( 2 3 )n]，n為偶數(shù)

．

點(diǎn)評：本題考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，解題的關(guān)鍵是對n進(jìn)行奇偶數(shù)分類討論時，正確判斷奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，考查了學(xué)生的計(jì)算化簡能力．