Question

已知拋物線D：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是圓M：（x+1）²+（y-2）²=

1

2

上一動(dòng)點(diǎn)，且|PF|+|PQ|最小值為

3 2

2

，求拋物線D的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：確定圓心坐標(biāo)為M（-1，2），半徑為

2

2

，將|PF|+|PQ|最小值為

3 2

2

，轉(zhuǎn)化為|PF|+|PM|最小值為2

2

，即|FM|=2

2

，利用兩點(diǎn)間距離公式，求出p，就可以求出拋物線D的方程．

解答： 解：圓M：（x+1）²+（y-2）²=

1

2

的圓心坐標(biāo)為M（-1，2），半徑為

2

2

，
∵|PF|+|PQ|最小值為

3 2

2

，Q是圓M：（x+1）²+（y-2）²=

1

2

上一動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)Q、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，|QF|最小，M、Q、P、F四點(diǎn)共線時(shí)，|MF|最小為2

2

，
∴

( p 2 +1)2+4

=2

2

，
∴p=2，
∴拋物線D的方程是y²=4x．

點(diǎn)評(píng)：圓外點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最值，通常轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與圓心的距離問(wèn)題．