【題目】已知是圓上的一個動點，過點作兩條直線，它們與橢圓都只有一個公共點，且分別交圓于點.

（Ⅰ）若，求直線的方程；

（Ⅱ）①求證：對于圓上的任意點，都有成立；

②求面積的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）①證明見解析；②.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程,利用直線與橢圓都只有一個公共點,求出直線的斜率,即可求直線的方程；（Ⅱ）①分類討論,斜率不存在時成立，斜率存在時，利用判別式等于零可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達定理可得成立，即可證得結(jié)論；②記原點到直線的距離分別為，可得，設(shè)面積為，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求其取值范圍.

（Ⅰ）設(shè)直線的方程為,

代入橢圓，消去，

可得，
由,可得，
設(shè)的斜率分別為，
直線的方程分別為；
（Ⅱ）①證明:當(dāng)直線的斜率有一條不存在時,不妨設(shè)無斜率
與橢圓只有一個公共點,所以其方程為,
當(dāng)的方程為時，此時與圓的交點坐標(biāo)為，

的方程為(或，成立，
同理可證，當(dāng)的方程為時，結(jié)論成立;
當(dāng)直線的斜率都存在時,設(shè)點且，
設(shè)方程為,代入橢圓方程，

可得，

由化簡整理得，
，，
設(shè)的斜率分別為，

成立，
綜上,對于圓上的任意點，都有成立；
②記原點到直線的距離分別為，

因為，所以是圓的直徑，

所以，

面積為，，

，
.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知橢圓的左、右焦點為，點在橢圓上.

（1）設(shè)點到直線的距離為，證明：為定值；

（2）若是橢圓上的兩個動點（都不與重合），直線的斜率互為相反數(shù)，當(dāng)時，求直線的斜率.

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（2）過點任作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于、和、點，求兩條弦的弦長之和的最小值．

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（1）求橢圓的標(biāo)準方程；

（2）設(shè)過點的直線與橢圓相交于，兩點，線段上存在一點到，兩邊的距離相等，若，間直線的斜率是否存在？若存在，求直線的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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【題目】如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=.

（1）若M為PA中點，求證:AC∥平面MDE；

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（3）在PC上是否存在一點Q，使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為.

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【題目】如圖，在棱長為2的正方體中，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上，若P為動點，Q為動點，則PQ的最小值為_____.

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【題目】如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，，，若M為PA的中點，PC與DE交于點N.

（1）求證：AC∥面MDE；

（2）求證：PE⊥MD；

（3）求點N到平面ABM的距離.

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【題目】一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端.某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進行補播種，否則要補播種.

（1）當(dāng)取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？

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（Ⅱ）設(shè)，若存在極值，求的取值范圍.

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