Question

【題目】如圖所示，四棱錐P﹣ABCD的底面為直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．點E是PC的中點．
（Ⅰ）求證：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在點F，使CF⊥PA？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1.）證明：取PD中點Q，連結(jié)AQ、EQ

∵E為PC的中點，
∴EQ∥CD且EQ= CD．
又∵AB∥CD且AB= CD，
∴EQ∥AB且EQ=AB．
∴四邊形ABED是平行四邊形，
∴BE∥AQ．
又∵BE平面PAD，AQ平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2.）解：棱PD上存在點F為PD的中點，使CF⊥PA，
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，
∴AD⊥平面PCD，
∴DP是PA在平面PCD中的射影，
∴PC=DC，PF=DF，
∴CF⊥DP，
∴CF⊥PA．
【解析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明：BE∥平面PAD；（2）棱PD上存在點F為PD的中點，使CF⊥PA，利用三垂線定理可得結(jié)論．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．