Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=3x²+（x-a）|x-a|
（1）若f（0）≥2，求a的取值范圍；
（2）求f（x）的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥2的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義,其他不等式的解法

專題：分類(lèi)討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分a≥0和a＜0來(lái)討論；
（2）去絕對(duì)值后，利用配方法求出函數(shù)最小值；
（3）轉(zhuǎn)化為二次不等式，對(duì)方程的兩根和a分別作比較，求出不等式的解集．

解答： 解：（1）f（0）≥2，-a|a|≥0，解得a≤0
（2）f（x）=3x²+（x-a）|x-a|=

3x2+(x-a)2 ;x≥a 3x2-(x-a)2 ;x＜a

=

4x2-2ax+a2(x≥a) 2x2+2ax-a2(x＜a)

當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=4(x-

a

4

)2+

3a2

4

，當(dāng)x=

a

4

且a≤0時(shí)，f(x)min=

3a2

4

當(dāng)x＞a時(shí)，f(x)=2(x+

a

2

)2-

3a2

2

，當(dāng)x=-

a

2

且a＞0時(shí)，f(x)min=-

3a2

2

∴綜上得：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的最小值為

3a2

4

，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有最小值為-

3a2

2

．
（3）當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f（x）=3x²+（x-a）²=4x²-2ax+a²，≠
∴h（x）≥2即4x²-2ax+a²-2≥0
△=（2a）²-16（a²-2）=32-12a²
①當(dāng)△≤0時(shí)，即a2≥

8

3

即a∈(-∞，-

2 6

3

]∪[

2 6

3

，+∞)時(shí)，解集為（a，+∞）；
②當(dāng)△＞0時(shí)，a∈(-

2 6

3

，

2 6

3

)時(shí)，
令4x²-2ax+a²-2=0，得x₁=

a- 8-3a2

4

，x2=

a+ 8-3a2

4

∴4x²-2ax+a²-2≥0，x≤x₁ 或x≥x₂，
∵當(dāng)a∈(-

2 6

3

，-

6

3

]時(shí)，x₁≤a，解集為(a，

a- 8-3a2

3

]∪[

a+ 8-3a2

4

，+∞）；
當(dāng)a∈(-

6

3

，0]時(shí)，x₁＜a，解集為[

a+ 8-3a2

4

，+∞）；
當(dāng)a=x₂時(shí)，a=

6

3

，當(dāng)a∈[

6

3

，

2 6

3

)時(shí)，a＞x₂，解集為（a，+∞）；
當(dāng)a∈(0，

6

3

)時(shí)，a＜x₂，解集為[

a+ 8-3a2

4

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含絕對(duì)值不等式解法，運(yùn)用了分類(lèi)討論、等價(jià)轉(zhuǎn)換、配方法等思想方法，是一道綜性較強(qiáng)的試題，屬于難題．