Question

【題目】解答
（1）集合M={1，2，（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i}，N={3，﹣1}，M∩N={3}，求實(shí)數(shù)m的值．
（2）已知12= ×1×2×3，12+22= ×2×3×5，12+22+32= ×3×4×7，12+22+32+42= ×4×5×9，由此猜想12+22+…+n2（n∈N*）的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由M={1，2，（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i}，N={3，﹣1}，

且M∩N={3}，

得（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i=3，

所以，m2﹣3m﹣1=3且m2﹣5m﹣6=0，

解得m=﹣1；

（2）解：歸納猜想，得12+22+…+n2= （n∈N*）；

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，12= ×1×2×3，猜想成立；

2）假設(shè)n=k（k≥1，且k∈N*）時(shí)，猜想成立，

即12+22+…+k2= ，

那么當(dāng)n=k+1時(shí)，

12+22+…+k2= +（k+1）2

=

= ，（k∈N*），

所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想成立；

由（1）（2）可知，對任意的正整數(shù)n，猜想都成立

【解析】（1）根據(jù)交集的定義列出方程組，解方程組求出m的值；（2）歸納法猜想得出12+22+…+n2= （n∈N*），再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解集合的交集運(yùn)算的相關(guān)知識(shí)，掌握交集的性質(zhì)：（1）A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，則AB，反之也成立，以及對數(shù)學(xué)歸納法的定義的理解，了解數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法．