Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，且a₁，a₃，a₁₃成等比數(shù)列，若a₁=2，S_n是數(shù)列{a_n}前n項的和，則

Sn+16

1 2 an+3

（n∈N^*）的最小值為（　�。�

• A、4
• B、3
• C、2

  3

  -2
• D、

  9

  2

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意得（1+2d）²=1+12d，求出公差d的值，得到數(shù)列{a_n}的通項公式，前n項和，從而可得

Sn+16

1 2 an+3

，換元，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：∵a₁=2，a₁、a₃、a₁₃ 成等比數(shù)列，
∴（2+2d）²=2（2+12d）．
得d=4或d=0（舍去），
∴a_n =4n-2，
∴S_n=2n²，
∴

Sn+16

1 2 an+3

=

2n2+16

2n+2

．
令t=n+1，則

2Sn+16

an+3

=t+

9

t

-2≥6-2=4
當(dāng)且僅當(dāng)t=3，即n=2時，∴

2Sn+16

an+3

的最小值為4．
故選：A．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．