Question

已知集合A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}，集合B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}．
（1）a=2時(shí)，求A∩B；
（2）a＞

1

3

時(shí)，若A∩B=B，求實(shí)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知a=2，解A，B所含方程組成的不等式組即可求得A∩B；
（2）已知A∩B=B得B⊆A，a＞

1

3

得3a+1＞2，可求解集合A，討論2a和a²+1的大小關(guān)系，解集合B，根據(jù)B⊆A確定a的取值范圍．

解答：解：（1）a=2時(shí)，解方程組

(x-2)(x-7)＜0 x-4 x-5 ＜0

得，4＜x＜5，
故A∩B={x|4＜x＜5}
（2）已知A∩B=B得B⊆A，
a＞

1

3

時(shí)，3a+1＞2，A={x|（x-2）[x-（3a+1）]＜0}={x|2＜x＜3a+1}
討論2a和a²+1的大小關(guān)系：
①若a²+1=2a得a=1，即1＜0不成立，集合B為空集，A={x|2＜x＜4}，滿足B⊆A
②若a²+1＞2a得a≠1，B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}={x|2a＜x＜a²+1}，∵B⊆A
∴

2a＞2 a2+1＜3a+1

解得1＜a＜3
③若a²+1＜2a即（a-1）²＜0，這樣的a不存在
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|1≤a＜3}．

點(diǎn)評：本題考查集合的并集運(yùn)算，（1）實(shí)質(zhì)為解不等式組，較簡單；（2）需要進(jìn)行分類討論，注意a²+1＞2a時(shí)的計(jì)算要根據(jù)B⊆A得出正確的不等式組，不要混淆大小關(guān)系，分類討論時(shí)還應(yīng)注意不能遺漏，本題屬于難題，易錯題．