Question

【題目】已知點，圓．

（）設，求過點且與圓相切的直線方程．

（）設，直線過點且被圓截得的弦長為，求直線的方程．

（）設，直線過點，求被圓截得的線段的最短長度，并求此時的方程．

Answer 1

【答案】（1）切線方程為或；（2）直線的方程為或；（3）方程為即.

【解析】試題分析：（1）已知直線上一點，設出直線方程，點斜式，再根據直線和圓的位置關系，，解得，求得方程。（2）根據垂徑定理，即圓心到直線的距離為，得到結果。（3）首先要分析出來線段最短時直線和圓的位置關系：，故當時，，再根據垂徑定理得到直線的斜率。

（）解：如圖所示，此時，

設切線為或，

驗證知與題意相符；

當切線為，即時，

圓心到切線的距離

，解得，

所以，切線方程為或．

（）如圖所示，此時，

設直線為或（舍），

設弦的中點為，則，，

所以，即圓心到直線的距離為，

于是，解得或，

所以，直線的方程為或．

（）如圖所示，此時，

設所截得的線段為，圓心到直線的距離為，則

，

即，因為直線過點，

所以圓心到直線的距離為

，故當時，，

此時，因為，所以，

故直線方程為，即．