Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項a₁為常數(shù)，且a_n+1=3ⁿ-2a_n（n∈N⁺）．
（1）證明：{a_n-

3n

5

}是等比數(shù)列；
（2）若a₁=

3

2

，{a_n}中是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，寫出這三項，若不存在說明理由．
（3）若{a_n}是遞增數(shù)列，求a₁的取值范圍．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,數(shù)列的函數(shù)特性,等差數(shù)列的通項公式

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合條件，即可得證；
（2）由（1）求出數(shù)列{a_n}的通項公式，再由等差數(shù)列的性質(zhì)，得到方程，求出n，即可判斷；
（3）運(yùn)用數(shù)列{a_n}的通項公式，作差，再由n為偶數(shù)和奇數(shù)，通過數(shù)列的單調(diào)性，即可得到范圍．

解答： （1）證明：因為

an+1- 1 5 •3n+1

an- 1 5 •3n

=

2 5 •3n-2an

an- 1 5 •3n

=-2，
所以數(shù)列{a_n-

3n

5

}是等比數(shù)列；
（2）解：{a_n-

3n

5

}是公比為-2，首項為a₁-

3

5

=

9

10

的等比數(shù)列．
通項公式為a_n=

3n

5

+（a₁-

3

5

）（-2）^n-1=

3n

5

+

9

10

•(-2)n-1
若{a_n}中存在連續(xù)三項成等差數(shù)列，則必有2a_n+1=a_n+a_n+2，
即2[

3n+1

5

+

9

10

(-2)n]=

3n

5

+

9

10

(-2)n-1+

3n+2

5

+

9

10

(-2)n+1
解得n=4，即a₄，a₅，a₆成等差數(shù)列．  
（3）解：如果a_n+1＞a_n成立，
即

3n+1

5

+(a1-

3

5

)(-2)n＞

3n

5

+（a₁-

3

5

）（-2）^n-1對任意自然數(shù)均成立．
化簡得

4

15

•3n＞-(a1-

3

5

)(-2)n，
當(dāng)n為偶數(shù)時a1＞

3

5

-

4

15

(

3

2

)n，
因為p(n)=

3

5

-

4

15

(

3

2

)n是遞減數(shù)列，
所以p（n）_max=p（2）=0，即a₁＞0；     
當(dāng)n為奇數(shù)時，a1＜

3

5

+

4

15

(

3

2

)n，
因為q(n)=

3

5

+

4

15

(

3

2

)n是遞增數(shù)列，
所以q（n）_min=q（1）=1，即a₁＜1；
故a₁的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列的性質(zhì)和已知數(shù)列的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯題．