如圖,已知圓與
軸負半軸的交點為
. 由點
出發(fā)的射線
的斜率為
. 射線
與圓
相交于另一點
(1)當時,試用
表示點
的坐標;
(2)當時,求證:“射線
的斜率
為有理數(shù)”是“點
為單位圓
上的有理點”的充要條件;(說明:坐標平面上,橫、縱坐標都為有理數(shù)的點為有理點.我們知道,一個有理數(shù)可以表示為
,其中
、
均為整數(shù)且
、
互質(zhì))
(3)定義:實半軸長、虛半軸長
和半焦距
都是正整數(shù)的雙曲線為“整勾股雙曲線”.
當為有理數(shù)且
時,試證明:一定能構(gòu)造偶數(shù)個“整勾股雙曲線”(規(guī)定:實軸長和虛軸長都對應相等的雙曲線為同一個雙曲線),它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點
的橫坐標、縱坐標和半徑
的數(shù)值構(gòu)成. 說明你的理由并請嘗試給出構(gòu)造方法.
(1) (2)證明略 (3)略
(1)解:設點的坐標為
. 由題意,點
的坐標為
,
于是可設射線的方程為
,
代入圓的方程可得:
…①
方程①中,一個解必為,則由根與系數(shù)關(guān)系可知
點的橫坐標為
;代入直線方程可得
.所以,點
的坐標即為
.
(2)充分性:設射線的斜率
(其中
、
均為整數(shù)且
、
互質(zhì))
則由(1)可知,
.
因為、
均為整數(shù),所以
、
必為一個有理數(shù),從而
點必為一個有理點.
必要性:若點為有理點,則可設
,
(其中
、
、
、
均為整數(shù)且
和
互質(zhì)、
和
互質(zhì))
于是,,因為
、
、
、
均為整數(shù),所以
必為一個有理數(shù).
(3)證:設點的坐標為
.當
時,
點必定落在第一象限的四分之一圓周上,即
,
.
而由,所以
的橫坐標
、縱坐標
以及圓的半徑
必能構(gòu)成某個雙曲線的一組實半軸長、虛半軸長和半焦距的數(shù)據(jù). 由(2)結(jié)論可知,
此時點的坐標應為
其中
、
此時均為正整數(shù)且
、
互質(zhì).
于是,只要構(gòu)造圓半徑(其中
為正整數(shù))時,則會有
,
,它們都為正整數(shù),且滿足
.
因此,對于斜率為(其中
、
均為整數(shù),
且
、
互質(zhì))的斜線
,只需確定圓的半徑滿足
(其中
為正整數(shù)),則必定能構(gòu)造“整勾股雙曲線”滿足題意.
特別地,因為當時,點
坐標必為
,而此時射線
的斜率為
,不是有理數(shù).所以,構(gòu)造出的雙曲線一定不是等軸雙曲線,
即由,可構(gòu)造的“整勾股雙曲線”的實半軸長、虛半軸長和半焦距長可由
和
構(gòu)成,且個數(shù)一定為偶數(shù)個.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
CE |
CF |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
q | p |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
2 |
| ||
2 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,已知圓C:,設M為圓C與x軸負半軸的交點,過M作圓C的弦MN,并使它的中點P恰好落在y軸上.
(Ⅰ)當r=2時, 求滿足條件的P點的坐標;
(Ⅱ)當r∈(1,+∞)時,求點N的軌跡G的方程;
(Ⅲ)過點P(0,2)的直線l與(Ⅱ)中軌跡G相交于兩個不同的點E、F,若,求直線
的斜率的取值范圍.
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