如圖,已知圓與
軸負(fù)半軸的交點(diǎn)為
. 由點(diǎn)
出發(fā)的射線(xiàn)
的斜率為
. 射線(xiàn)
與圓
相交于另一點(diǎn)
(1)當(dāng)時(shí),試用
表示點(diǎn)
的坐標(biāo);
(2)當(dāng)時(shí),求證:“射線(xiàn)
的斜率
為有理數(shù)”是“點(diǎn)
為單位圓
上的有理點(diǎn)”的充要條件;(說(shuō)明:坐標(biāo)平面上,橫、縱坐標(biāo)都為有理數(shù)的點(diǎn)為有理點(diǎn).我們知道,一個(gè)有理數(shù)可以表示為
,其中
、
均為整數(shù)且
、
互質(zhì))
(3)定義:實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)
和半焦距
都是正整數(shù)的雙曲線(xiàn)為“整勾股雙曲線(xiàn)”.
當(dāng)為有理數(shù)且
時(shí),試證明:一定能構(gòu)造偶數(shù)個(gè)“整勾股雙曲線(xiàn)”(規(guī)定:實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)都對(duì)應(yīng)相等的雙曲線(xiàn)為同一個(gè)雙曲線(xiàn)),它的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的長(zhǎng)恰可由點(diǎn)
的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和半徑
的數(shù)值構(gòu)成. 說(shuō)明你的理由并請(qǐng)嘗試給出構(gòu)造方法.
(1) (2)證明略 (3)略
(1)解:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
. 由題意,點(diǎn)
的坐標(biāo)為
,
于是可設(shè)射線(xiàn)的方程為
,
代入圓的方程可得:
…①
方程①中,一個(gè)解必為,則由根與系數(shù)關(guān)系可知
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
;代入直線(xiàn)方程可得
.所以,點(diǎn)
的坐標(biāo)即為
.
(2)充分性:設(shè)射線(xiàn)的斜率
(其中
、
均為整數(shù)且
、
互質(zhì))
則由(1)可知,
.
因?yàn)?img width=16 height=17 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/129/27329.gif">、均為整數(shù),所以
、
必為一個(gè)有理數(shù),從而
點(diǎn)必為一個(gè)有理點(diǎn).
必要性:若點(diǎn)為有理點(diǎn),則可設(shè)
,
(其中
、
、
、
均為整數(shù)且
和
互質(zhì)、
和
互質(zhì))
于是,,因?yàn)?img width=19 height=24 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/172/27372.gif">、
、
、
均為整數(shù),所以
必為一個(gè)有理數(shù).
(3)證:設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為
.當(dāng)
時(shí),
點(diǎn)必定落在第一象限的四分之一圓周上,即
,
.
而由,所以
的橫坐標(biāo)
、縱坐標(biāo)
以及圓的半徑
必能構(gòu)成某個(gè)雙曲線(xiàn)的一組實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距的數(shù)據(jù). 由(2)結(jié)論可知,
此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為
其中
、
此時(shí)均為正整數(shù)且
、
互質(zhì).
于是,只要構(gòu)造圓半徑(其中
為正整數(shù))時(shí),則會(huì)有
,
,它們都為正整數(shù),且滿(mǎn)足
.
因此,對(duì)于斜率為(其中
、
均為整數(shù),
且
、
互質(zhì))的斜線(xiàn)
,只需確定圓的半徑滿(mǎn)足
(其中
為正整數(shù)),則必定能構(gòu)造“整勾股雙曲線(xiàn)”滿(mǎn)足題意.
特別地,因?yàn)楫?dāng)時(shí),點(diǎn)
坐標(biāo)必為
,而此時(shí)射線(xiàn)
的斜率為
,不是有理數(shù).所以,構(gòu)造出的雙曲線(xiàn)一定不是等軸雙曲線(xiàn),
即由,可構(gòu)造的“整勾股雙曲線(xiàn)”的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)可由
和
構(gòu)成,且個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
CE |
CF |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
q | p |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
2 |
| ||
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
如圖,已知圓C:,設(shè)M為圓C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn),過(guò)M作圓C的弦MN,并使它的中點(diǎn)P恰好落在y軸上.
(Ⅰ)當(dāng)r=2時(shí), 求滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);
(Ⅱ)當(dāng)r∈(1,+∞)時(shí),求點(diǎn)N的軌跡G的方程;
(Ⅲ)過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線(xiàn)l與(Ⅱ)中軌跡G相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)E、F,若,求直線(xiàn)
的斜率的取值范圍.
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