Question

已知定點A(－2, 0)和B(2, 0)，曲線E上任一點P滿足|PA|－|PB|＝2.

（1）求曲線E的方程；

（2）延長PB與曲線E交于另一點Q，求|PQ|的最小值；

（3）若直線l的方程為x＝a(a≤)，延長PB與曲線E交于另一點Q，如果存在某一位置，使得從PQ的中點R向l作垂線，垂足為C，滿足PC⊥QC，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由雙曲線的定義得：曲線E是以A，B為焦點的雙曲線的右支，所以曲線E的方程為：x²－＝1(x＞0)                         

（2）若直線PQ不垂直于x軸，設直線PQ的方程為：y＝k(x－2)

由，得(3－k²)x²＋4k²x－(4k²＋3)＝0       

設p(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，這里x₁＞0，x₂＞0

則：    得：k²＞3  

|PQ|＝|x₁－x₂|＝＝6＋＞6       

若直線PQ垂直于x軸，則直線PQ的方程為x＝2。       

這時P(2，3)，Q(2，－3)，所以|PQ|＝6，

綜上：|PQ|_min＝6  ……………………………9分

（3）據(jù)題意得：|CR|＝|PQ|。若直線PQ不垂直于x軸，

由|CR|＝－a＝－a                       

∴－a＝·，a＝＝－1＋＜－1 

若直線PQ垂直于x軸，這時|PQ|＝6，|CR|＝2－a 

∴a＝－1。                                        

綜上a≤－1。