Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₂=5，S₅=35，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足a_n=log₂b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）設(shè)G_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n，求G_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，解這個方程求出a₁，d，能夠得到a_n．
（2）由a_n=log₂b_n得到，，所以．
（3）G_n=3•2³+5•2⁵+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹，4G_n=3•2⁵+5•2⁷+…+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹+（2n+3）•2²ⁿ⁺³，兩式相減得：-3G_n=3•2³+（2•2⁵+2•2⁷+2•2²ⁿ⁺¹）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³，由此能導(dǎo)出G_n．
解答：解：（1）由題意得，解得
∴a_n=2n+1（5分）
（2）由a_n=log₂b_n得到，
∴，∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，其中b₁=8，q=4，
∴．（10分）

（3）G_n=3•2³+5•2⁵+…+（2n+1）•2²ⁿ⁺¹
∴4G_n=3•2⁵+5•2⁷+…+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹+（2n+3）•2²ⁿ⁺³
兩式相減得：-3G_n=3•2³+（2•2⁵+2•2⁷+2•2²ⁿ⁺¹）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
即：-3G_n=24+（2⁶+2⁸+2²ⁿ⁺²）-（2n+1）•2²ⁿ⁺³
=
=
∴．（15分）
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．