Question

設(shè)集合M是R的子集，如果點x₀∈R滿足：?a＞0，?x∈M，0＜|x-x₀|＜a，稱x₀為集合M的聚點．則下列集合中以0為聚點的有
①
②{x|x∈R，x≠0}
③
④Z．

1. A.
   ②③
2. B.
   ②④
3. C.
   ①③
4. D.
   ①③④

Answer 1

A
分析：由已知中關(guān)于集合聚點的定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點的定義，進(jìn)而得到答案．
解答：①{|n∈N}中的元素構(gòu)成以1為極限的數(shù)列，故對?a＞0，?x∈{ |n∈N}，
使0＜|x-1|＜a成立，故此集合以1為聚點，不是以0為聚點的．
②集合{x|x∈R，x≠0}，對任意的a，都存在x=（實際上任意比a小得數(shù)都可以），使得0＜|x|=＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點．
③集合{ |n∈N^*}，其中的元素構(gòu)成以0為極限的數(shù)列，故對?a＞0，存在x∈{ |n∈N^*}，
使0＜|x-0|＜a成立，故0是此集合的聚點．
④集合Z中的元素是整數(shù)，故對?a＞0，不存在x∈Z，使0＜|x-0|＜a成立，∴0不是集合Z的聚點．
故選A．
點評：本題考查的知識點是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解新定義--集合的聚點的含義，是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．