Question

在△ABC中，∠B=30°，AC=1．
（1）求：AB+

3

BC的最大值；
（2）求：△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由B的度數(shù)求出A+C的度數(shù)，用A表示出C，原式利用正弦定理化簡后，將表示出的C代入利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出最大值；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosB及b的值代入，利用基本不等式變形求出ac的最大值，再由sinA的值，利用三角形面積公式，即可求出三角形ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）∵∠B=30°，∴∠A+∠C=150°，
由正弦定理

BC

sinA

=

AC

sinB

=

AB

sinC

，AC=1，sinB=

1

2

得：BC=2sinA，AB=2sinC，
∴AB+

3

BC=2sinC+2

3

sinA=2sin（150°-A）+2

3

sinA=2（-

3

2

cosA+

1

2

sinA）+2

3

sinA=-

3

cosA+（2

3

+1）sinA=

1

16+4 3

sin（A-θ），
（其中sinθ=

3

16+4 3

，cosθ=

2 3 +1

16+4 3

），
則AB+

3

BC的最大值為

1

2 4+ 3

；
（2）∵在△ABC中，∠B=30°，AC=b=1，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即1=a²+c²-

3

ac≥2ac-

3

ac=（2-

3

）ac，
∴ac≤

1

2- 3

=2+

3

，
則S_{△ABC最大值}=

1

2

acsinB=

2+ 3

4

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及三角形面積公式，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．