Question

（2012•茂名二模）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，動點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，

1

4

）的距離比它到x軸的距離大

1

4

，設(shè)動點(diǎn)M的軌跡是曲線E．
（1）求曲線E的軌跡方程；
（2）設(shè)直線l：x-y+2=0與曲線E相交于A、B兩點(diǎn)，已知圓C經(jīng)過原點(diǎn)O和A，B兩點(diǎn)，求圓C的方程，并判斷點(diǎn)M（0，4）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M′是否在圓C上．

Answer 1

分析：（1）由動點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，

1

4

）的距離比它到x軸的距離大

1

4

，可得動點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，

1

4

）的距離等于它到定直線x=-

1

4

的距離，從而可得曲線E的軌跡方程；
（2）由

x-y+2=0 x2=y

，求得A，B的坐標(biāo)，假設(shè)過原點(diǎn)與點(diǎn)A、B的圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入可得圓C的方程，求出點(diǎn)M（0，4）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)，代入驗證，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）由已知，動點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，

1

4

）的距離比它到x軸的距離大

1

4

，
∴動點(diǎn)M到定點(diǎn)F（0，

1

4

）的距離等于它到定直線x=-

1

4

的距離，…（2分）
∴動點(diǎn)M的軌跡曲線E是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（0，

1

4

）的拋物線和點(diǎn)（0，-

1

4

）…（4分）
∴曲線E的軌跡方程為x²=y和x=0（y＜0）．…（6分）
（2）由

x-y+2=0 x2=y

，解得

x=-1 y=1

或

x=2 y=4

           …（8分）
即A（-1，1），B（2，4）
設(shè)過原點(diǎn)與點(diǎn)A、B的圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則

F=0 1+1-D+E+F=0 4+16+2D+4E+F=0

，解得

D=-2 E=-4 F=0

∴圓C的方程為x²+y²-2x-4y=0，即（x-1）²+（y-2）²=5 …（10分）
由上可知，過點(diǎn)M（0，4）且與直線l垂直的直線MM′方程為：y=-x+4
解方程組

y=-x+4 x-y+2=0

，得

x=1 y=3

，即線段MM′中點(diǎn)坐標(biāo)為H（1，3）…（12分）
從而得點(diǎn)M（0，4）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為M′（2，2）
把M′（2，2）代入，可得（x-1）²+（y-2）²≠5 
∴點(diǎn)M′（2，2）不在圓C上．…（14分）

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力