分析 利用正弦定理以及基本不等式求解表達式的最值即可.
解答 解:由正弦定理得:sinAcos2C2+sinCcos2A2=32sinB,
即sinA•1+cosC2+sinC•1+cosA2=32sinB,
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB,即sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB,
∵sin(A+C)=sinB,
∴sinA+sinC=2sinB,a+c=2b,由余弦定理得:cosB=a2+c2−22ac=a2+c2−14(a+c)22ac=38•a2+c2ac-14≥34-14=12,
則B≤\frac{π}{3}.
sinA•sinC≤({\frac{sinA+sinC}{2})}^{2}=sin2B≤\frac{3}{4}.當且僅當三角形是正三角形時,取得最大值.
sinA•sinC的最大值為\frac{3}{4}.
故答案為:\frac{3}{4}.
點評 本題考查基本不等式的應(yīng)用,正弦定理的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -1 | B. | 0 | C. | 1 | D. | 2 |
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A. | 8 | B. | 12 | C. | 14 | D. | 20 |
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A. | 外心 | B. | 內(nèi)心 | C. | 重心 | D. | 垂心 |
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A. | (0,\frac{1}{e}) | B. | (0,1) | C. | (1,+∞) | D. | (e,+∞) |
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