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17.在△ABC中,角A,B,C所對邊分別為a,b,c,acos2C2+ccos2A2=3b2,則sinA•sinC的最大值為34

分析 利用正弦定理以及基本不等式求解表達式的最值即可.

解答 解:由正弦定理得:sinAcos2C2+sinCcos2A2=32sinB,
即sinA•1+cosC2+sinC•1+cosA2=32sinB,
∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB,即sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB,
∵sin(A+C)=sinB,
∴sinA+sinC=2sinB,a+c=2b,由余弦定理得:cosB=a2+c222ac=a2+c214a+c22ac=38a2+c2ac-1434-14=12,
則B≤\frac{π}{3}
sinA•sinC≤({\frac{sinA+sinC}{2})}^{2}=sin2B≤\frac{3}{4}.當且僅當三角形是正三角形時,取得最大值.
sinA•sinC的最大值為\frac{3}{4}
故答案為:\frac{3}{4}

點評 本題考查基本不等式的應(yīng)用,正弦定理的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

練習冊系列答案
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③“a=1”是“函數(shù)f(x)=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件;
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