Question

【題目】函數(shù)f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）若m，n∈R+ ， ，求證：n+2m﹣f（x）＞0恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由f（x）＜0得f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|＜0，即|x+1|＜|x﹣2|，

平方得x2+2x+1＜x2﹣4x+4，即6x＜3，

得x＜ ，即不等式的解集為（﹣∞， ）．

（2）

解：∵n+2m+2=n+1+2m+1=（n+1+2m+1）（ + ）=4+1+ + ≥5+2 =5+4=9，

∴n+2m≥9﹣2=7，當(dāng)且僅當(dāng)+ = ，即n+1=2（2m+1）時(shí)取等號(hào)，

∴n+2m的最小值為7，

∵f（x）=|x+1|﹣|2﹣x|≤|x+1+2﹣x|=3，

∴f（x）的最大值為3，

則n+2m＞f（x）恒成立，即n+2m﹣f（x）＞0恒成立．

【解析】（1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，利用1的代換，先求出n+2m的最小值，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出f（x）的最大值，進(jìn)行比較即可．
【考點(diǎn)精析】掌握基本不等式是解答本題的根本，需要知道基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）；變形公式：．