如圖，四面體中，、分別是、的中點，

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求點到平面的距離．

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．

解析試題分析：（1）由題意可知，為等腰三角形，是邊上的中線，所以，再由已知條件算出的三條邊長，由此根據(jù)勾股定理，可證,從而得證平面；（2）作于F，連AF，由（1）知， 故，所以 ,則 是二面角的平面角，利用平面幾何知識即可算出其正切值；（3）設點E到平面ACD的距離為因為,所以,從而求出．也可以點為原點，建立空間直角坐標系，寫出各個點的坐標，利用利用空間向量方法，求解各個小題，詳見解析．
試題解析：（Ⅰ）證明：連結OC


在中，由已知可得而
即
平面
（Ⅱ）解： 作于F，連AF
由（1）知， 故 
 , 是二面角的平面角，
易知,.
即所求二面角的正切值為 
（Ⅲ）解：設點E到平面ACD的距離為


在中，

而

點E到平面ACD的距離為
方法二：（Ⅰ）同方法一.
（Ⅱ）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

（Ⅲ）解：設平面ACD的法向量為則


令得是平面ACD的一個法向量，又
點E到平面ACD的距離．
考點：本題考查的知識點是空間直線與平面垂直的判定，空間點到平面的距離，二面角的平面角，其中（I）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直之間的轉化，（II）（III）的關鍵是建立空間坐標系，利用向量法解決空間距離和夾角問題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ，直線B1C與平面ABC成45°角。

(1)求證：平面A1B1C⊥平面B1BCC1；
(2)求二面角A—B1C—B的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AD∥BC，∠BCD=900，PA=PB，PC=PD.

(I) 試判斷直線CD與平面PAD是否垂直，并簡述理由；
（II）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（III）如果CD=AD+BC，二面角P-CB-A等于600，求二面角P-CD-A的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖：四邊形是梯形，,,三角形是等邊三角形，且平面 平面，,，

（1）求證：平面；
（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱中，，．

(Ⅰ)求證：平面；
(Ⅱ)若為的中點，求與平面所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,直三棱柱中，，點分別為和的中點.

(Ⅰ)證明:∥平面；
(Ⅱ)求異面直線與所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動．

（Ⅰ）證明：AD⊥C1E；
（Ⅱ）當異面直線AC，C1E 所成的角為60°時，求三棱錐C1-A1B1E的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，、分別是、的中點．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若與平面所成角為，且，求點到平面的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2(1)PD.

(1)證明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.

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