Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以C（1，-2）為圓心的圓與直線x+y+3

2

+1=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）是否存在斜率為1的直l，使得以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點，若存在，求出直線l方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓的半徑r，寫出該圓的方程；
（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，方程為y=x+m，由直線與圓C相交，求出交點的坐標(biāo)，
由直線與圓的方程聯(lián)立，消去y，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合OA⊥OB，求出m的值即可．

解答： 解：（1）設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
依題意得，a=1，b=-2；
∴該圓的半徑為r=

|1-2+3 2 +1|

2

=3，
∴該圓的方程是（x-1）²+（y+2）²=9；…（4分）
（2）設(shè)存在滿足題意的直線，且此直線方程為y=x+m，
直線與圓C相交于A，B兩點的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
由OA⊥OB，得k_OA•k_OB=-1，即

y1

x1

•

y2

x2

=-1，
x₁x₂+y₁y₂=0；…（7分）
由

y=x+m (x-1)2+(y+2)2=9

，
即

y=x+m x2+y2-2x+4y-4=0

；
消去y得，
2x²+2（m+1）x+m²+4m-4=0，
∴x₁+x₂=-（m+1），x₁x₂=

m2+4m-4

2

；…（9分）
又∵x₁x₂+y₁y₂=0，
y₁=x₁+m，y₂=x₂+m；
∴x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，
即2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0；
∴m²+4m-4-m（m+1）+m²=0，
解得m₁=-4，m₂=1；．
經(jīng)檢驗m₁=-4，m₂=1均使△＞0，都符合題意，
∴存在滿足題意的直線為y=x-4或y=x+1．…（12分）

點評：本題考查了直線與圓的方程的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)利用直線方程與圓的方程組成方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)行解答，是中檔題．