Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M為PC的中點(diǎn)，N在AB上且AN=

1

3

NB．
（Ⅰ）證明：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求三棱錐B-PNC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）過M在平面PCD內(nèi)作ME∥DC交PD于E，連接AE，證明EMAN為平行四邊形，可得MN∥AE，即可證明MN∥平面PAD；
（Ⅱ）利用V_B-PNC=V_P-BNC=

1

3

S△BNC•PA，即可求三棱錐B-PNC的體積．

解答： （Ⅰ）證明：過M在平面PCD內(nèi)作ME∥DC交PD于E，連接AE，
則ME平行且等于

1

2

DC，…（2分）
又DC=1，∴ME=

1

2

又AB⊥AD，AD⊥DC，∴DC∥AB
又AN=

1

3

NB=

1

4

AB=

1

2

，∴ME平行且等于AN，
∴EMAN為平行四邊形 …（4分）
∴MN∥AE，∴MN∥平面PAD，…（6分）
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，
∴V_B-PNC=V_P-BNC=

1

3

S△BNC•PA=

1

4

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的判定，考查三棱錐B-PNC的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．