考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性
專題:計算題,證明題,導數(shù)的綜合應用
分析:(1)由題意先求函數(shù)的定義域,再求導f′(x)=
+x-(1+a)=
,從而討論導數(shù)的正負以確定函數(shù)的單調性;
(2)由(2)知,當a=-
時,f(x)=-
lnx+
x
2-
x≥0;當且僅當x=1時,等號成立;從而可化出當>1時,
>
-;從而證明.
解答:
解:(1)f(x)=alnx+
x
2-(1+a)x的定義域為{x|x>0},
f′(x)=
+x-(1+a)=
;
①當a=1時,f′(x)≥0,f(x)在定義域上是增函數(shù);
②當a>1時,1<x<a時,f′(x)<0,0<x<1或x>a時,f′(x)>0;
故f(x)的單調減區(qū)間為(1,a);單調增區(qū)間為(0,1),(a,+∞);
③當0<a<1時,a<x<1,f′(x)<0,0<x<a或x>1時,f′(x)>0;
故f(x)的單調減區(qū)間為(a,1);單調增區(qū)間為(0,a),(1,+∞);
④當a<0時,0<x<1,f′(x)<0,x>1時,f′(x)>0;
故f(x)的單調減區(qū)間為(0,1);單調增區(qū)間為(1,+∞);
(2)證明:由(2)知,
當a=-
時,f(x)=-
lnx+
x
2-
x≥0;
當且僅當x=1時,等號成立;
即lnx≤x
2-x,
當>1時,
>
-;
故
+
+
+…+
>
-
+
-
+…+
-
=
-
=
;
故m(m+n)[
+
+
+…+
]>n.
點評:本題考查了導數(shù)的綜合應用及構造函數(shù)證明不等式的方法應用,屬于中檔題.