Question

13．在高中學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們經(jīng)常這樣說(shuō)：“數(shù)學(xué)物理不分家，如果物理成績(jī)好，那么數(shù)學(xué)就沒(méi)有什么問(wèn)題．”某班針對(duì)“高中生物理學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)的影響”進(jìn)行研究，得到了學(xué)生的物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)具有線性相關(guān)關(guān)系的結(jié)論，現(xiàn)從該班隨機(jī)抽取5名學(xué)生在一次考試中的數(shù)學(xué)和物理成績(jī)?nèi)绫?

	1	2	3	4	5
物理成績(jī)	90	85	74	68	63
數(shù)學(xué)成績(jī)	130	125	110	95	90

（1）求數(shù)學(xué)成績(jī)y對(duì)物理成績(jī)x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+a（$\widehat$精確到0.1），若某位同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?0分，預(yù)測(cè)他的數(shù)學(xué)成績(jī)；
（2）要從抽取的五位學(xué)生中隨機(jī)抽取2位參加一項(xiàng)知識(shí)競(jìng)賽，求選出的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)至少有一位高于120-分的概率．
（參考公式：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-b$\overline{x}$）
（參考數(shù)據(jù)：90²+85²+74²+68²+63²=29394）
90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)$\widehat$、$\widehat{a}$，寫出回歸方程，利用回歸方程計(jì)算x=80時(shí)$\widehat{y}$的值即可；
（2）利用列舉法計(jì)算從5人中隨機(jī)抽取2人的基本事件數(shù)，求出所求的概率值．

解答 解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（90+85+74+68+63）=76，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（130+125+110+95+90）=110，
$\sum_{i=5}^{5}$${{x}_{i}}^{2}$=90²+85²+74²+68²+63²=29394，
$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=90×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595，
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{42595-5×76×110}{29394-5{×76}^{2}}$=$\frac{795}{514}$≈1.5，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=110-1.5×76=-4；
∴x、y的線性回歸方程是$\widehat{y}$=1.5x-4，
當(dāng)x=80時(shí)，$\widehat{y}$=1.5×80-4=116，
即某位同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?0分，預(yù)測(cè)他的數(shù)學(xué)成績(jī)是116；
（2）抽取的五位學(xué)生中成績(jī)高于120分的有2人，記為A、B，另外3名記為c、d、e，
從這5人中隨機(jī)抽取2人，基本事件是
AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be、cd、ce、de共10種，
選出的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)至少有一位高于120分的基本事件是
AB、Ac、Ad、Ae、Bc、Bd、Be共7種，
故所求的概率為P=$\frac{7}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查列舉法求古典概型的概率，以及線性回歸方程的求法與應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．