Question

已知直線x+y-1=0與橢圓

x2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點，線段AB中點M在直線l：y=

1

2

x上．
（1）若橢圓右焦點關(guān)于直線l的對稱點在單位圓x²+y²=1上，求橢圓的方程；
（2）過D（0，2）的直線與（1）中的橢圓相交于不同兩點E、F，且E在D、F之間，設(shè)

DE

=λ

DF

，試確定實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程x+y-1=0與橢圓

x2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的方程，利用韋達定理可求得M（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

），點M在直線l：y=

1

2

x上，可求得a²=2b²；再設(shè)右焦點為F₂（c，0），對稱點為P（x，y），依題意可求得P（

3c

5

，

4c

5

），利用點P在單位圓x²+y²=1上，可求得a²、b²、c²的值；
（2）分）①過D（0，2）的直線垂直于x軸，②過D（0，2）的直線不垂直于x軸時兩類討論，利用向量的坐標運算與韋達定理可得到關(guān)于λ的不等式，解之即可得實數(shù)λ的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

y=-x+1 b2x2+a2y2-a2b2=0

，整理得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，由韋達定理，

x1+x2= 2a2 a2+b2 y1+y2= 2b2 a2+b2

，
∴M（

a2

a2+b2

，

b2

a2+b2

），
∵點M在直線l：y=

1

2

x上，
∴

b2

a2+b2

=

a2

2(a2+b2)

⇒a²=2b²；再設(shè)右焦點為F₂（c，0），對稱點為P（x，y），由對稱性知

y-0 x-c • 1 2 =-1 y+0 2 = 1 2 × x+c 2

，解得

x= 3 5 c y= 4 5 c

，又點P在單位圓x²+y²=1上，
∴(

3

5

c)2+(

4

5

c)2=1，解得c²=1，又c²=a²-b²=2b²-b²=1，∴a²=2，b²=1，
∴橢圓的標準方程為

x2

2

+y²=1．
（2）①過D（0，2）的直線垂直于x軸，易知λ=

DE

DF

=

|DE|

|DF|

=

1

3

；
②過D（0，2）的直線不垂直于x軸時，設(shè)直線的斜率為k，直線方程為y=kx+2，聯(lián)立

y=kx+2 x2+2y2-2=0

，整理得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），韋達定理得

x1+x2= -8k 2k2+1 x1•x2= 6 2k2+1

，又

DE

=（x₁，y₁-2）

DF

=（x₂，y₂-2），

DE

=λ

DF

，
∴

x1=λx2 y1-2=λ(y2-2)

，⇒λ=

x1

x2

，∴

(x1+x2)2

x1x2

=

32k2

6k2+3

⇒

x1

x2

+

x2

x1

+2=

32

6+ 3 k2

＜

16

3

，
即λ+

1

λ

+2＜

16

3

，整理得：3λ²-10λ+3＜0，解得

1

3

＜λ＜3．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，綜合考查點關(guān)于直線的對稱、直線與圓錐曲線方程的聯(lián)立韋達定理的應(yīng)用及方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、解不等式的能力，屬于難題．