Question

已知定義在[1，+∞）上的函數(shù)f（x）=

4-|8x-12|，1≤x≤2 1 2 f( x 2 )，x＞2

，則（　　）

• A、函數(shù)f（x）的值域為[1，4]
• B、關(guān)于x的方程f（x）-

  1

  2n

  =0（n∈N^*）有2n+4個不相等的實數(shù)根
• C、存在實數(shù)x₀，使得不等式x₀f（x₀）＞6成立
• D、當x∈[2，4]時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積為2

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分類討論：①當1≤x≤

3

2

時，f（x）=8x-8，；當

3

2

＜x≤2時，f（x）=16-8x；②當2＜x≤3時，則1＜

x

2

≤

3

2

，此時f（x）=2x-4；當3＜x≤4時，則

3

2

＜

x

2

≤2，此時f（x）=8-2x；依此類推：當2^n-1≤x≤3•2^n-2時，f（x）=2^5-2n（x-2^n-1），此時，0≤f（x）≤2^3-n；當3•2^n-2＜x≤2ⁿ時，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此時，0≤f（x）≤2^3-n．據(jù)此即可判斷答案．

解答： 解：①當1≤x≤

3

2

時，f（x）=8x-8，此時，0≤f（x）≤4；
當

3

2

＜x≤2時，f（x）=16-8x，此時，0≤f（x）＜4；
②當2＜x≤3時，則1＜

x

2

≤

3

2

，此時f（x）=2x-4，此時，0≤f（x）≤2；
當3＜x≤4時，則

3

2

＜

x

2

≤2，此時f（x）=8-2x，此時，0≤f（x）＜2；
…，
依此類推：當2^n-1≤x≤3•2^n-2時，f（x）=2^5-2n（x-2^n-1），
此時，0≤f（x）≤2^3-n；當3•2^n-2＜x≤2ⁿ時，f（x）=-2^5-2n（x-2ⁿ），此時，0≤f（x）≤2^3-n．
據(jù)此可得：函數(shù)f（x）的值域為[0，4]，故A不正確；
當n=1時，f（x）=

1

2

，有且僅有7個不等實數(shù)根，不是2×1+4=6個不等實數(shù)根，故B不正確；
xf（x）＞6?f（x）＞

6

x

，由f（x）的圖象可得到：當x∈[2^n-1，2ⁿ]（n∈N^*）時，f（x）≤f（3•2^n-2）=

6

3•2-2

可得：f（x）≤

6

x

，故C不正確．
當x∈[2，4]時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積S=

1

2

×(4-2)×2=2，故D正確．
故選：D．

點評：本題綜合考查了分類討論思想方法、直線方程、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的交點與方程的根、如何否定一個命題等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了數(shù)形結(jié)合的方法與能力、類比推理能力和計算能力．