Question

（1），a∈R，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)x₂＞x₁＞0，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出，然后分a≤0和0＜a＜1和a=1以及a＞1時(shí)四種情況，分別討論導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，可以得到單調(diào)性的四種不同情況；
（2）構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)討論h′（x）的單調(diào)性得出h′（x）在（0，+∞）上的最大值小于零，從而h′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．再根據(jù)0＜x₁＜x₂時(shí)，結(jié)合
h（x）單調(diào)減可得．
解答：解：（1）     （x＞0）
∴①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）是減函數(shù)；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，a）是增函數(shù)，在區(qū)間（a，1）是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）是增函數(shù)
③當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，+∞）是增函數(shù)
④當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，1）是增函數(shù)，（1，a）是減函數(shù)，（a，+∞）是增函數(shù)------------------（6分）
（2）令，由，
又令，∴
∴p（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減----------------------（8分）
∴當(dāng)x＞0時(shí)，p（x）＜p（0）=0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＜0
∴h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．------------（10分）
∴0＜x₁＜x₂時(shí)，有，
∴x₂ln（1+x₁）＞x₁ln（1+x₂），
∴-----（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．